碩士學位研究生入學試卷:(中國科技大學)試卷名稱：量子力學（

碩士學位研究生入學試卷:(中國科技大學)試卷名稱：量子力學（理論型）
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選做五題，毎題20分
1、?一個質量為 的粒子被限制在一維區域 運動， 的波函數為
??????????
?? 為常數。
（1）?后來某一時刻 時波函數是什么？

（2）?體系在 和 時平均能量是多少？
（3）?在 時于勢阱右半部（即 ）發現粒子的幾率是多少？
2、
3、設粒子處于 狀態，計算角動量的 分量和 分量的方均差
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4、記 為 矩陣，定義
（1）?計算 和 ，
（2）?證明（ 為常數 ）
?，
證：???
????
反復利用即得??? 兩邊同乘實數 得
???? 即

（3）?化簡下面二式
?。
5、設 為一量子系統的能量算符，其本征態為 若體系受到微擾作用，微擾算符為 為實數）， 為厄密算符， 為另外的厄密算符，且 如在微擾作用前的基態 中， 的平均值已知為 ，試對微擾后的基態（非簡并）計算厄密算符 的平均值 ，精確到量級 。
6、以 和 表示費米子體系的某個單粒子態的產生和湮滅算符，滿足基本關系式
??????
??? 以 表示該單粒子態上的粒子數算符，并計算兩個對易式 。
???????????????????? 中國科學院------中國科學技術大學
????????????????? 2001年招收攻讀碩士學位研究生入學試卷
?????????????????????? 試卷名稱：量子力學（理論型）
?
???????? （選做五題，每題20分）
?1、??
??? 其中A 為常數，求系統第三激發態的能量本征值。
?2、粒子被一維勢壘
???????
??? 散射。當粒子的能量E= 時，有一半粒子被反射回去。求粒子的質量 所滿足的方程。
3、在粒子數表象中，諧振子的基態 滿足性質 其中 為吸收算符， ，試利用此性質求出基態在動量表象中的波函數顯示式