基于FPGA的Cordic算法實現的設計與驗證

CORDIC（Coordinate Rotation Digital Computer）算法即坐標旋轉數字計算方法，是J.D.Volder1于1959年首次提出，主要用于三角函數、雙曲線、指數、對數的計算。該算法通過基本的加和移位運算代替乘法運算，使得矢量的旋轉和定向的計算不再需要三角函數、乘法、開方、反三角、指數等函數。

本文是基于FPGA實現Cordic算法的設計與驗證，使用Verilog HDL設計，初步可實現正弦、余弦、反正切函數的實現。將復雜的運算轉化成FPGA擅長的加減法和乘法，而乘法運算可以用移位運算代替。Cordic算法有兩種模式，旋轉模式和向量模式?？梢栽趫A坐標系、線性坐標系、雙曲線坐標系使用。本文線初步實現在圓坐標系下的兩種模式的算法實現。

Cordic算法簡化

旋轉模式，迭代位移算法。假設有一點P0（x0，y0），經過逆時針旋轉角度θ，到達點Pm（xm，ym），我們根據數學運算可以得到公式如下：

xm = x0cosθ - y0sinθ = cosθ（x0 – y0tanθ）

ym = y0cosθ + x0sinθ = cosθ（y0 – x0tanθ）

如果不考慮旋轉后的向量模值，只考慮旋轉角度，即去掉cosθ，得到如下方程式。這里旋轉的角度的正確的，但x和y的值增加。cosθ值是小于等于1的，值大于等于1，所以模值應該增大。我們不能通過適當的數學計算去掉cosθ，但是去掉cosθ項可以方便我們后面的坐標平面旋轉的計算。這里稱為偽旋轉。

xm = x0 – y0tanθ

ym = y0 – x0tanθ

Cordic的方法核心就是偽旋轉，將旋轉角θ細化成若干個大小固定的角度θi，規定θi滿足tanθi = 2^-i，通過一系列的迭代旋轉，每次旋轉θi，i為迭代次數，規定∑θi的范圍即旋轉角度θ的范圍為［-99.7， 99.7］。如果θ的大于這個范圍則可通過三角運算操作轉化到該范圍的角度。

我們通過事先將所有每次旋轉的角度計算出來，由于每次旋轉的角度是固定的，所以經過i次旋轉的∑θi可能會超過θ，所以就必須設置一個方向值di，如果旋轉角度之和已經小于θ，則di為1，下次旋轉繼續為順時針旋轉，如果旋轉角度之和大于θ，則di為-1，下次旋轉為逆時針。設置zi+1為旋轉剩余角度，zi+1 = z0 – dizi，z0 = θ，隨著i值得增大，zi+1會趨向于0時，即旋轉結束。di與zi的符號位相同。

采用偽旋轉的方法，每次提出一個cosθi，旋轉結束后會產生一個∏cosθi的累乘，一旦我們確定了迭代次數，∏cosθi就是一個常數，迭代公式可寫為。這是將cosθi提出、tanθi 替換成 2^-i后的結果。di與zi的符號位相同。

xi+1 = xi - di * yi * 2^-i

yi+1 = yi + di * xi * 2^-i

zi+1 = z0 - di * θi

設迭代i = n - 1，那么旋轉n次后得到Pm的坐標應該為（xn * ∏cosθi， yn * ∏cosθi）。應為每次迭代都會提出一個cosθi，旋轉n次后的xn和yn就會少乘一個∏cosθi，所以實際上最終的Pm坐標角度近似于（xn * ∏cosθi， yn * ∏cosθi）。

xn * ∏cosθi = x0cosθ - y0sinθ

yn * ∏cosθi = y0cosθ + x0sinθ

xn = 1/∏cosθi （x0cosθ – y0sinθ）

yn = 1/∏cosθi （y0cosθ – x0sinθ）

伸縮因子，KN = 1 / ∏cosθi，已知迭代次數，我們可以預先計算KN的值。如下這是博主使用MATLAB計算出的迭代結果數值。

xn =KN （x0cosθ – y0sinθ）

yn = KN （y0cosθ – x0sinθ）

從上表可以得出，我們預先計算出KN的值，然后令x0 = ∏cosθi，y0 = 0，則上述公式可化簡為

xn = cosθ

yn = sinθ

即可實現正弦、余弦操作了。

旋轉模式

總結一下，Cordic算法旋轉模式使用Verilog HDL的實現流程

（1） 確定迭代次數，將每次迭代的角度計算出來，預先定義為參數，為了避免浮點運算，將角度值向左移位16位，取整數部分。

（2） 根據迭代公式進行迭代計算，本設計取16次迭代，從上表可以看出，當迭代次數越大時，1/∏cosθi會趨向于一個確定值。如果對結果精度要求更高，可以設置更高的迭代次數，根據迭代次數，可以將伸縮因子KN = 1/∏cosθi計算出來。同樣將其左移16位。

xi+1 = xi - di * yi * 2^-i

yi+1 = yi + di * xi * 2^-i

zi+1 = z0 - di * θi

（3） 設置x0 = ∏cosθi，y0 = 0，則求出x16 = cosθ，y16 = sinθ。

這里需要注意的是，我們在進行迭代運算的時候，將2^-i變成移位運算，對于正余弦來說是有正負的，所以在一開始定義的時候，就應該定義成有符號數，Verilog中也可以定義有符號數，最高位表示符號位，定義如下

迭代寄存器定義為有符號數，那么我們移位運算就不能用》》邏輯右移《《邏輯左移或來移位了，而是用》》》算術右移和《《《算術左移。邏輯左移也就相當于算數左移，右邊統一添0 ，邏輯右移，左邊統一添0 ，算數右移，左邊添加的數和符號有關。

例如1010_1010， ［］是添加的位

邏輯左移一位：0101_010［0］

算數左移一位：0101_010［0］

邏輯右移一位：［0］101_0101

算數右移一位：［1］101_0101

迭代運算采用16級流水線，進行運算，最終需要判斷輸出的正余弦值在哪個象限，前面講旋轉角度θ的范圍為［-99.7，99.7］，不在這個范圍我們要進行三角運算使其滿足這個范圍，當輸入的角度小于90度即可進行計算，當輸入角度大于90度小于180度，將輸入角度減去90度并設定當前角度處于第二象限，然后進行計算，當輸入角度大于180度小于270度，將輸入的角度減去180度設置當前角度處于第三象限，進行計算，當輸入的角度大于270度，減去270設置當前角度處于第四象限，進行計算。象限的設定通過quarant寄存器實現。

如果角度在第一象限，sin（x） = sin（a），cos（x） = sin（a）最后的結果x16 = cosθ， y16 = sinθ，這里我想起了那句口訣，一全正，二正弦，三正切，四余弦

如果角度在第二象限，sin（x） = sin（a+90） = cos（a），cos（x） = cos（a+90） = -sin（a）

如果角度在第三象限，sin（x） = sin（a+180） = -sin（a），cos（x） = cos（a+180） = -cos（a）

如果角度在第四象限，sin（x） = sin（a+270） = cos（a），cos（x） = cos（a+270） = -sin（a）

對于正數，我們直接賦值輸出，負數，這里使用有符號數表示，將其取反加1即可。最終使用modelsim對算法進行仿真，從波形圖上看已經初步實現了sin，cos函數。

向量模式

Cordic算法在向量模式下的計算方法和旋轉模式基本上是類似的，設有一點P0（x0， y0），經過順時針旋轉角度到與軸重合，得到點Pm（xm， ym），即ym = 0。

xm = x0cosθ - y0sinθ = cosθ（x0 – y0tanθ）

ym = y0cosθ + x0sinθ = cosθ（y0 – x0tanθ） = 0

我們設置x0 = x， y0 = y， z0 = 0，迭代次數為16，經過16次迭代后得到zn = θ = arctan（y/x）和坐標所代表的向量的模值d = xm = xn * ∏cosθi，di與yi方向相反，即當時結束運算。實現方法為判斷yi的符號位，符號位為1，di為1，符號位為0，di為-1。

xi+1 = xi - di * yi * 2^-i

yi+1 = yi + di * xi * 2^-i

zi+1 = z0 - di * θi

關于反正切函數，由于在［-99.7°，99.7°］范圍內，所以我們輸入向量P0（x0， y0）時，需要保證其在第一、四象限。

下面是使用MATLAB計算出來的數據和FPGA計算出來的數據進行比較。

從FPGA計算出的結果與MATLAB來比較，和實際結果之間的誤差還是挺小的，畢竟是硬件計算出來的數據，向量的誤差就比較大了，如果對于精度比較高的計算，我們可以通過提高迭代次數來提高精度。至此基于FPGA的Cordic算法就實現結束了。