怎樣使用CORDIC算法求解角度正余弦呢？

1、算法簡介

CORDIC（Coordinate Rotation Digital Computer）算法即坐標旋轉數字計算方法，是J.D.Volder1于1959年首次提出，主要用于三角函數、雙曲線、指數、對數的計算。該算法通過基本的加和移位運算代替乘法運算，使得矢量的旋轉和定向的計算不再需要三角函數、乘法、開方、反三角、指數等函數，計算向量長度并能把直角坐標系轉換為極坐標系。因為Cordic 算法只用了移位和加法，很容易用純硬件來實現，非常適合FPGA實現。

CORDIC算法是天平稱重思想在數值運算領域的杰出范例。核心的思想是把非線性的問題變成了線性的迭代問題【4】。

CORDIC算法完成坐標或向量的平面旋轉（下圖以逆時針旋轉為例）。

旋轉后，可得如下向量：

旋轉的角度θ經過多次旋轉得到的（步步逼近，接近二分查找法），每次旋轉一小角度。單步旋轉定義如下公式：

公式（2）提取cosθ，可修改為：

修改后的公式把乘法次數從4次改為3次，剩下的乘法運算可以通過選擇每次旋轉的角度去除，將每一步的正切值選為2的指數（二分查找法），除以2的指數可以通過右移操作完成（verilog）。

每次旋轉的角度可以表示為：

所有迭代角度累加值等于最終需要的旋轉角度θ：

這里Sn為1或者-1，根據旋轉方向確定（后面有確定方法，公式（15）），順時針為-1，逆時針為1。

可以得到如下公式：

結合公式（3）和（7），得到公式（8）：

到這里，除了余弦值這個系數，算法只要通過簡單的移位和加法操作完成。而這個系數可以通過預先計算最終值消掉。首先重新重寫這個系數如下：

第二步計算所有的余弦值并相乘，這個值K稱為增益系數。

由于K值是常量，我們可以先忽略它。

到這里我們發現，算法只剩下移位和加減法，這就非常適合硬件實現了，為硬件快速計算三角函數提供了一種新的算法。在進行迭代運算時，需要引入一個新的變量Z，表示需要旋轉的角度θ中還沒有旋轉的角度。

這里，我們可以把前面提到確定旋轉方向的方法介紹了，就是通過這個變量Z的符號確定。

通過公式（5）和（15），將未旋轉的角度變為0。

一個類編程風格的結構如下，反正切值是預先計算好的。

1.1 旋轉模式

旋轉模式下，CORDIC算法驅動Z變為0，結合公式（13）和（16），算法的核心計算如下：

一種特殊情況是，另初始值如下：

因此，旋轉模式下CORDIC算法可以計算一個輸入角度的正弦值和余弦值。

1.2 向量模式

向量模式下，有兩種特例：

因此，向量模式下CORDIC算法可以用來計算輸入向量的模和反正切，也能開方計算，并可以將直角坐標轉換為極坐標。

2、硬件算法實現

根據【5】，可以看到CORDIC迭代算法的一種直接實現方式是反饋結構，此結構只設計一級CORDIC運算迭代單元、然后在系統時鐘的驅動下，將本級的輸出作為本級的輸入，通過同一級迭代完成運算。這種方法硬件開銷小、但控制相對復雜。

所以根據【1】、【2】，使用流水線結構實現了CORDIC迭代算法、求取了角度的正弦和余弦值。

下面分段介紹下各部分代碼：

首先是角度的表示，進行了宏定義，360讀用16位二進制表示2^16，每一度為2^16/360。

//360°--2^16,phase_in = 16bits (input [15:0] phase_in)
//1°--2^16/360
`define rot0  16'h2000    //45
`define rot1  16'h12e4    //26.5651
`define rot2  16'h09fb    //14.0362
`define rot3  16'h0511    //7.1250
`define rot4  16'h028b    //3.5763
`define rot5  16'h0145    //1.7899
`define rot6  16'h00a3    //0.8952
`define rot7  16'h0051    //0.4476
`define rot8  16'h0028    //0.2238
`define rot9  16'h0014    //0.1119
`define rot10 16'h000a    //0.0560
`define rot11 16'h0005    //0.0280
`define rot12 16'h0003    //0.0140
`define rot13 16'h0002    //0.0070
`define rot14 16'h0001    //0.0035
`define rot15 16'h0000    //0.0018

然后是流水線級數定義、增益放大倍數以及中間結果位寬定義。流水線級數16，為了滿足精度要求，有文獻指出流水線級數必須大于等于角度位寬16（針對正弦余弦計算的CORDIC算法優化及其FPGA實現）。增益放大2^16，為了避免溢出狀況中間結果（x，y，z）定義為17為，最高位作為符號位判斷，1為負數，0為正數。

module cordic
(
    input clk,
    
    input [15:0] phase_in,
    output reg signed [16:0] eps,
    output reg signed [16:0] sin,
    output reg signed [16:0] cos
);
parameter PIPELINE = 16;

parameter K = 16'h9b74;
//gian k=0.607253*2^16,9b74,n means the number pipeline
//pipeline 16-level    //maybe overflow,matlab result not overflow
//MSB is signed bit,transform the sin and cos according to phase_in[15:14]
reg signed [16:0] x0=0,y0=0,z0=0;
reg signed [16:0] x1=0,y1=0,z1=0;
reg signed [16:0] x2=0,y2=0,z2=0;
reg signed [16:0] x3=0,y3=0,z3=0;
reg signed [16:0] x4=0,y4=0,z4=0;
reg signed [16:0] x5=0,y5=0,z5=0;
reg signed [16:0] x6=0,y6=0,z6=0;
reg signed [16:0] x7=0,y7=0,z7=0;
reg signed [16:0] x8=0,y8=0,z8=0;
reg signed [16:0] x9=0,y9=0,z9=0;
reg signed [16:0] x10=0,y10=0,z10=0;
reg signed [16:0] x11=0,y11=0,z11=0;
reg signed [16:0] x12=0,y12=0,z12=0;
reg signed [16:0] x13=0,y13=0,z13=0;
reg signed [16:0] x14=0,y14=0,z14=0;
reg signed [16:0] x15=0,y15=0,z15=0;
reg signed [16:0] x16=0,y16=0,z16=0;

還需要定義memory型寄存器數組并初始化為0，用于寄存輸入角度高2位的值。

reg [1:0] quadrant [PIPELINE:0];
integer i;
initial
begin
    for(i=0;i<=PIPELINE;i=i+1)
    quadrant[i] = 2'b0;
end

接著，是對輸入角度象限處理，將角度都轉換到第一象限，方便處理。輸入角度值最高兩位賦值0，即轉移到第一象限[0°,90°]。此外，完成x0，y0和z0的初始化，并增加一位符號位。

always @ (posedge clk)//stage 0,not pipeline
begin
    x0 <= {1'b0,K}; //add one signed bit,0 means positive
    y0 <= 17'b0;
    z0 <= {3'b0,phase_in[13:0]};//control the phase_in to the range[0-Pi/2]
end

接下來根據剩余待旋轉角度z的符號位進行16次迭代處理，即完成16級流水線處理。

View Code

其中使用到了算數右移（>>>）運算、所以在之前聲明時將相應的reg/wire均聲明為signed類型。這一點在【1】的最后也有說明。

需要注意的是這里的算數移位運算（這一運算的詳細過程在【3】中進行了說明），與之區分的是邏輯移位運算。

二者規則為：

邏輯左移和右移，空出的位均補零。

算數左移與邏輯左移相同，都在低位補零；算數右移、移出的高位比特使用符號位填充（0正1負）

舉例說明，對8'b_1011_0111進行邏輯、算數移位的結果如下圖所示：

比如這里的原數值是8'b10110111、為負數（補碼形式）、換算成十進制為-73.

算數右移一位之后的結果是8'b11011011、由補碼換算成原碼再換算為十進制為-37.

由于進行了象限的轉換，最終流水結果需要根據象限進行轉換為正確的值。這里寄存17次高2位角度輸入值，配合流水線結果用于象限判斷，并完成轉換。

//according to the pipeline,register phase_in[15:14]
always @ (posedge clk)
begin
quadrant[0] <= phase_in[15:14];
quadrant[1] <= quadrant[0];
quadrant[2] <= quadrant[1];
quadrant[3] <= quadrant[2];
quadrant[4] <= quadrant[3];
quadrant[5] <= quadrant[4];
quadrant[6] <= quadrant[5];
quadrant[7] <= quadrant[6];
quadrant[8] <= quadrant[7];
quadrant[9] <= quadrant[8];
quadrant[10] <= quadrant[9];
quadrant[11] <= quadrant[10];
quadrant[12] <= quadrant[11];
quadrant[13] <= quadrant[12];
quadrant[14] <= quadrant[13];
quadrant[15] <= quadrant[14];
quadrant[16] <= quadrant[15];
end

最后，根據寄存的高2位角度輸入值，利用三角函數關系，得出最后的結果，其中負數進行了補碼操作。

//alter register, according to quadrant[16] to transform the result to the right result
always @ (posedge clk)
    eps <= z16;

always @ (posedge clk) begin
case(quadrant[16]) //or 15
2'b00:begin //if the phase is in first quadrant,the sin(X)=sin(A),cos(X)=cos(A)
        cos <= x16;
        sin <= y16;
        end
2'b01:begin //if the phase is in second quadrant,the sin(X)=sin(A+90)=cosA,cos(X)=cos(A+90)=-sinA
        cos <= ~(y16) + 1'b1;//-sin
        sin <= x16;//cos
        end
2'b10:begin //if the phase is in third quadrant,the sin(X)=sin(A+180)=-sinA,cos(X)=cos(A+180)=-cosA
        cos <= ~(x16) + 1'b1;//-cos
        sin <= ~(y16) + 1'b1;//-sin
        end
2'b11:begin //if the phase is in forth quadrant,the sin(X)=sin(A+270)=-cosA,cos(X)=cos(A+270)=sinA
        cos <= y16;//sin
        sin <= ~(x16) + 1'b1;//-cos
        end
endcase
end

完整代碼：

Whole Code

testbench測試代碼：

Testbench

3、Modelsim仿真結果

仿真結果的補充說明：

（1）程序全程未使用復位信號，testbench中第一個計算的角度為16'h2000也就是45度，如果以圖示時刻為0時刻、仿真結果對應的波形即分別為sin(x+π/4)和cos(x+π/4)的波形。作為參考，0.5*√2*65535≈46340.

（2）關于運算過程中的位數溢出

根據仿真結果，本測試例下，x4出現過16位位數溢出。

（3）關于流水線設計的理解

前文提到過實現CORDIC迭代算法時可以使用反饋結構（只使用一級）、也可以使用流水線結構（多級），如果任務是只單獨計算一個角度的正弦或者余弦值，那么所需要的迭代次數或者說消耗的時鐘周期數量其實是相同的，本設計中為16個時鐘。

流水線結構的威力是在連續、源源不斷地計算一組多個角度的正余弦值的時候才展現出來，當初始流水線被填滿之后，每經過一個時鐘周期、都會在輸出上獲得一個更新的角度的正余弦結果值，上圖仿真結果圖中黃色cursor左側的時間段內、流水線即被逐步填滿。

換句話說，如果現在的任務是要計算n個角度的正余弦值、計算一個角度需要的迭代次數為x，反饋結構需要的時長為（n*x）個時鐘周期，流水線結構只需要（n+x-1）個時鐘周期。

審核編輯：劉清