復旦大學:2002年招收攻讀碩士學位研究生入學考試試題

1、已知一維運動的粒子在態 中坐標 和動量 的平均值分別為 和 ，求在態 中 和 的平均值。（20分）
2、一體系服從薛定諤方程
???
? （1）指出這體系的所有守恒量（不必證明）
? （2）求基態能量和基態波函數。（20分）
3、設 時氫原子處在狀態
???
? （1）求此體系能量的平均值，
? （2）求體系處在 態的幾率，
? （3）求波函數隨時間的變化。
4、一維諧振子受到微擾 作用，在粒子數表象中
?
（1）用微擾論，求能量修正值至二級，
（2）求能量的準確值，并與微擾論給出的結果比較。（20分）
5、設 和 滿足對易關系 ，體系的哈密頓為
???????
? （2）問 要滿足何種條件， 才厄密？
? （2）求體系的能量。

??????? 2004年

1、質量為 的粒子處在寬度為 的一維無限深勢阱中，設在時刻 粒子的狀態為
????? 是能量為 歸一化本征函數， 為已知常數，求
? （1）在時刻 時，測量能量，結果小于 的幾率，
? （2）在時刻 時，能量 和 的平均值，
? （3）時刻為 的波函數 ，
? （4）如果在 態測量能量，所得結果為 ，問粒子處于何種狀態？
2、設氫原子處于 態，求
? （1）勢能 的平均值，
? （2） 為軌道角動量，求算符 的平均值 。
???? （已知 ）（30分）
3、一質量為 的粒子在三維勢場 中運動，式中 是常數， 為小量
? （1）用微擾論求基態能量至二級修正，
? （2）用簡并微擾論求相對于第一激發態的能級至一級修正。（30分）
4、兩個自旋為 的粒子組成的體系由哈密頓量 描述，其中 分別是它們的 分量， 為常數，求該哈密頓量的所有能級。（35分）
5、考慮兩個具有同樣頻率 的振子，哈密頓量為?????
? 記 相應于本征值 和 的本征態為 ，零點能可略。在兩個振子具有相互作用后，其哈密頓量為
??????
?? 為正實數，因為有相互作用， 不是H的本征態
? （1）求 的本征值
? （2）設體系在 時，處在 態，求 時的態矢量
? （3）求在 時，體系出現在 態的幾率。（25分）
解：本征矢