RC積分器電路公式及增長案例曲線摘要

RC積分器是一個串聯RC網絡，產生一個輸出信號，對應于積分的數學過程。

對于無源RC積分電路，輸入連接到電阻輸出電壓取自電容器，與 RC微分電路完全相反。輸入為高電容時電容充電，輸入電壓低時放電。

在電子產品中，基本串聯電阻 - 電容（RC）電路有許多用途和應用，從基本充電/放電電路到高階濾波器電路。這個雙組分無源RC電路可能看起來很簡單，但根據所施加輸入信號的類型和頻率，這個基本RC電路的行為和響應可能會有很大差異。

無源RC網絡是只不過是與電容器串聯的電阻器，它是與電容器串聯的固定電阻，該電容器具有頻率相關的電抗，隨著其板上的頻率增加而減小。因此，在低頻時，電容的電抗Xc很高，而在高頻時，由于Xc = 1 /（2πC）的標準電容電抗公式，其電抗很低，我們在關于被動的教程中看到了這種效應低通濾波器。

如果輸入信號是正弦波，rc積分器將簡單地用作其切割之上的簡單低通濾波器（LPF）截止點或轉角頻率對應于串聯網絡的RC時間常數（tau，τ）。因此，當用純正弦波饋電時，RC積分器充當無源低通濾波器，將其輸出降低到截止頻率點之上。

正如我們之前所見，RC時間常數反映了這種關系電阻和電容之間的時間與時間的關系，以秒為單位，與電阻R和電容C成正比。

因此，充電或放電的速率取決于RC時間常數，τ= RC ?？紤]下面的電路。

RC積分器

對于RC積分電路，輸入信號通過電容器輸出電阻，然后V OUT 等于V C 。由于電容器是頻率相關元件，所以在板上建立的電荷量等于電流的時域積分。也就是說，電容器需要一定的時間才能完全充電，因為電容器不能立即以指數方式充電。

因此電容器電流可寫為：

上面 i C = C（dVc / dt）的基本等式可以也可以表示為電荷的瞬時變化率，Q相對于時間給出以下標準公式： i C = dQ / dt 其中電荷 Q = C x Vc ，即電容乘以電壓。

電容器充電（或放電）的速率與電阻和電容量成正比，給出時間常數電路。因此，RC積分電路的時間常數是等于R和C乘積的時間間隔。

由于電容等于電荷的Q / Vc，Q是電流的流量（i ）隨著時間的推移（t），這是庫侖中的ixt的乘積，并且從歐姆定律我們知道電壓（V）等于ix R，將這些代入RC時間常數的等式得出：

RC時間常數

然后我們可以看到，當i和R都取消時，只剩下T指示RC積分器電路的時間常數具有以秒為單位的時間維度，給出希臘字母tau，τ。請注意，此時間常數反映了電容器充電至最大電壓的63.2％或放電至最大電壓的36.8％所需的時間（以秒為單位）。

電容器電壓

我們之前說過，對于RC積分器，輸出等于電容器兩端的電壓，即： V OUT 等于V C 。該電壓與電荷成正比，Q存儲在電容上，由下式給出：Q = VxC。

結果是輸出電壓是輸入電壓的積分，積分量取決于R和C的值以及因此網絡的時間常數。

我們在上面看到電容器電流可以表示為電荷變化率Q相對于時間。因此，根據微積分的基本規則，Q相對于時間的導數是dQ / dt，并且當i = dQ / dt時，我們得到以下關系：

Q =∫idt （電容器在任何時刻的電荷Q）

由于輸入連接到電阻器，相同的電流，我必須通過電阻器和電容器（i R = i C ）在電阻器兩端產生V R 電壓降，因此電流（i）流過這個系列的RC網絡如下：

因此：

當i = V IN / R時，替換和重新排列以求解V OUT 作為時間的函數給出：

換句話說，RC積分電路的輸出，即電容兩端的電壓等于時間積分輸入電壓V IN 加權1 / RC的常數。其中RC表示時間常數，τ。

然后假設電容器上的初始電荷為零，即V OUT = 0，并且輸入電壓V IN 是恒定的，輸出電壓V OUT 在時域中表示為：

RC積分公式

因此RC積分電路是輸出電壓V OUT 與電路成正比的電路輸入電壓的積分，考慮到這一點，讓我們看看當我們以階躍電壓的形式將單個正脈沖施加到RC積分電路時會發生什么。

單脈沖RC積分器

當單級電壓脈沖施加到RC積分器的輸入端時，電容器會響應脈沖通過電阻充電。然而，輸出不是瞬間的，因為電容器兩端的電壓不會瞬間改變，而是隨著電容器以RC時間常數τ= RC確定的速率充電而呈指數增長。

我們現在知道電容器充電或放電的速率取決于電路的RC時間常數。如果施加理想的階躍電壓脈沖，即前沿和后沿被認為是瞬時的，則電容器兩端的電壓將隨充電而增加，并隨著時間的推移而逐漸減小，其速率由下式確定：

電容器充電

電容器放電

因此，如果我們假設電壓為1伏（1V），我們可以繪制每個R時間常數的電容充電或放電百分比，如下表所示。

請注意，在5個時間常數或以上，電容被認為是100％完全充電或完全放電d。

現在我們假設我們有一個RC積分器電路，由一個100kΩ電阻和一個1uF電容組成，如圖所示。

RC積分電路示例

因此，RC積分電路的時間常數τ為：RC =100kΩx1uF= 100ms。

所以如果我們將一個階躍電壓脈沖施加到輸入端，其持續時間為兩個時間常數（200mS），那么從上表我們可以看出電容器將充電到其完全充電值的86.4％。如果此脈沖的幅度為10伏，那么這相當于8.64伏，然后當輸入脈沖返回到零時電容器再次通過電阻器放電回到源。

如果我們假設電容器是允許在5個時間常數的時間內完全放電，或者在下一個輸入脈沖到達之前500mS，然后充電和放電曲線圖如下所示：

RC積分器充電/放電曲線

請注意，電容器的初始值為8.64伏（2個時間常數），而不是從10伏輸入開始。

然后我們可以看到，當RC時間常數固定時，輸入脈沖寬度的任何變化都會影響RC積分電路的輸出。如果脈沖寬度增加且等于或大于5RC，則輸出脈沖的形狀將與輸入的形狀類似，因為輸出電壓達到與輸入相同的值。

If然而，脈沖寬度減小到5RC以下，電容器只會部分充電而沒有達到最大輸入電壓，導致輸出電壓變小，因為電容器不能充電，導致輸出電壓與輸入電壓的積分成正比。

因此，如果我們假設輸入脈沖等于一個時間常數，即1RC，則電容器將在0伏特和10伏特之間充電和放電，但是在電容器兩端的電壓的63.2％和38.7％之間。更改。請注意，這些值由RC時間常數確定。

固定RC積分器時間常數

因此，對于連續脈沖輸入，輸入的周期時間與電路的RC時間常數之間的正確關系，輸入的積分將產生一種斜升，然后是斜降輸出。但是為了使電路作為積分器正常工作，與輸入周期時間相比，RC時間常數的值必須很大。這是RC？T，通常是10倍。

這意味著輸出電壓的大?。ㄅc1 / RC成比例）在高壓和低壓之間將非常小，從而嚴重削弱輸出電壓。這是因為電容器在脈沖之間充電和放電的時間要少得多，但平均輸出直流電壓將增加到輸入的一半，在上面的脈沖示例中，這將是5伏（10/2）。

RC積分器作為正弦波發生器

我們已經看到， RC積分器電路可以通過施加脈沖輸入來執行積分操作，從而產生斜坡由于電容器的充電和放電特性，輸出和降低三角波輸出。但是如果我們改變過程并對輸入應用三角波形會發生什么呢？我們會得到脈沖波或方波輸出嗎？

當RC積分電路的輸入信號是脈沖形輸入時，輸出是三角波。但是當我們應用三角波時，由于斜坡信號隨時間的積分，輸出變為正弦波。

有許多方法可以產生正弦波形，但是一種簡單而廉價的電子方式產生正弦波型波形是使用一對串聯連接在一起的無源RC積分電路，如圖所示。

正弦波RC積分器

這里，第一個RC積分器將原始脈沖整形輸入轉換為斜升和斜降三角波形，該波形成為第二個RC積分器的輸入。第二個RC積分電路將三角波的點對齊，將其轉換為正弦波，因為它有效地對原始輸入信號進行雙積分，RC時間常數影響積分程度。

由于斜坡的積分產生正弦函數（基本上是舍入三角波形），其以赫茲為單位的周期頻率將等于原始脈沖的周期T.另請注意，如果我們反轉此信號并且輸入信號是正弦波，則該電路不會充當積分器，而是作為具有正弦波的簡單低通濾波器（LPF），純波形不會改變形狀，只有它的幅度受到影響。

RC積分器摘要

我們在這里看到RC積分器基本上是一個串聯RC低通濾波器電路，當施加階躍電壓脈沖時其輸入產生的輸出與其輸入的積分成比例。這產生了一個標準公式： Vo =∫Vi dt 其中Vi是饋送到積分器的信號，Vo是積分輸出信號。

輸入階躍函數的積分產生類似三角斜坡函數的輸出，其幅度小于原始脈沖輸入的幅度，衰減量由時間常數確定。因此，輸出波形的形狀取決于電路的時間常數與輸入脈沖的頻率（周期）之間的關系。

RC積分器時間常數總是與周期T相比較輸入，因此較長的RC時間常數將產生與輸入信號相比具有低幅度的三角波形狀，因為電容器具有較少的完全充電或放電時間。短時間常數使電容器有更多的時間進行充電和放電，從而產生更典型的圓形形狀。

通過將兩個RC積分電路并聯連接，可以實現對輸入脈沖的雙重積分。這種雙重積分的結果是第一積分電路將階躍電壓脈沖轉換成三角波形，第二積分電路通過舍入三角波形的點來轉換三角波形，產生正弦波輸出波形，大大減少振幅。