數據表示與編碼的奧秘：為什么8位數據范圍是-128到127？

很表面很淺薄的問(wèn)題。

簡(jiǎn)單說(shuō)愛(ài)怎么規定就怎么規定，甚至-1到254都行。無(wú)非是顯示時(shí)通過(guò)編碼表做個(gè)轉換的問(wèn)題而已。

不過(guò)，當初選擇“補碼”這種編碼形式，卻并不像表面看起來(lái)那么淺薄。背后的道道可多著(zhù)呢。

首先，8位二進(jìn)制一共可以提供256個(gè)“碼點(diǎn)”；那么我們就總可以用這些“碼點(diǎn)”來(lái)編碼256種符號。

這種編碼方案有很多。最著(zhù)名的大概就是ASCII碼方案了，這個(gè)方案規定了英文字符（區分大小寫(xiě)）、0~9這10個(gè)數字、標點(diǎn)符號以及一些控制字符如何編碼：

但ASCII碼用來(lái)編碼字符效果不錯；拿來(lái)存儲數字卻極為浪費。比如它需要三個(gè)字節才能表示123。

為了編碼數字，我們需要一個(gè)更有效的方案。

一種很自然的想法是，我們就直接把二進(jìn)制對應的數字值拿來(lái)用，這就是最好的編碼方案！

于是，8個(gè)二進(jìn)制位就可以表示0~255之間的所有數字——用ASCII碼三個(gè)字節才能表示的123，直接用二進(jìn)制編碼就是01111011，一個(gè)字節足夠了。

這個(gè)方案只能表示正數；遇到負數怎么辦呢？

簡(jiǎn)單，第一個(gè)二進(jìn)制位拿出來(lái)當符號位，剩下七位仍然當數字用，就能表示±127之間的任何數字了。

這個(gè)方案就叫“原碼”；其中不帶符號位的就是無(wú)符號數（unsigned）。

原碼是一種很初級的編碼方案，它僅僅解決了編碼問(wèn)題——從此數字有辦法二進(jìn)制表示了。

但我們在計算機內部表示數字是用來(lái)計算的；那么想用原碼計算的話(huà)，那可就麻煩了……

我們知道，最初CPU的內部最重要的核心器件叫ALU（Arithmetic and Logic Unit算術(shù)邏輯單元），其中的A就是數學(xué)。

ALU的核心是加法器，這是個(gè)隨參與計算的數值的二進(jìn)制位數指數增長(cháng)的數字電路。較早期的CPU里面絕大多數的邏輯門(mén)都被拿來(lái)做這個(gè)加法器了。

加法器顧名思義只能拿來(lái)做加法。

但是沒(méi)關(guān)系，如果你調過(guò)機械表，就知道從8點(diǎn)調到1點(diǎn)的方式有兩種：一種是往后撥7個(gè)小時(shí)，一種是往前撥5個(gè)小時(shí)。

換句話(huà)說(shuō)，在時(shí)鐘鐘面上，8-7和8+(12-7)效果相同，最終得到的都是1.

類(lèi)似的，1個(gè)字節的加減法，如果計算結果超過(guò)255就會(huì )造成溢出，溢出的高位二進(jìn)制數據無(wú)處存放自動(dòng)丟棄，計算結果就出錯了——但反過(guò)來(lái)想，這不恰恰就是一個(gè)邏輯鐘面嗎？

顯然，我們也可以利用這個(gè)性質(zhì)做減法：減32完全可以當成加(256-32)來(lái)算嘛；而由于二進(jìn)制的特點(diǎn)，256-32恰好又等于32這個(gè)數值取反。

類(lèi)似的，有符號數其實(shí)是一個(gè)符號位和7個(gè)二進(jìn)制位，7個(gè)二進(jìn)制位能表示的最大數是127；因此減32就可以用加(128-32)代替（和表盤(pán)上的12點(diǎn)/0點(diǎn)一樣）。

于是，減法器就可以不做，一個(gè)加法器就足夠用了——省了好大一坨門(mén)電路，CPU的制造成本一下子就去了一大塊。

既然最終減法一定要這樣做……那么從一開(kāi)始就不應該用原碼表示負數，對吧。

不然每次計算都還得用一條指令判斷判斷符號位，然后該取反取反……這速度可就慢下去了。

如果從一開(kāi)始，負數就取反表示，那么負數加法完全無(wú)需判斷，拎起來(lái)就加——圓滿(mǎn)。

這個(gè)編碼方案就是所謂的反碼。

反碼是一個(gè)充滿(mǎn)了工程師的惡臭味的優(yōu)秀方案。

說(shuō)它優(yōu)秀，是因為它的確解決問(wèn)題；說(shuō)它惡臭，是因為它用起來(lái)實(shí)在麻煩，需要很多“微妙”的調整才能得到正確結果。

比如，它的符號位相加后，如果產(chǎn)生了進(jìn)位，就要把進(jìn)位送回去加到最低位上——你得搞一大張真值表才能確定這個(gè)做法的正確性。

嗯……這就是最容易產(chǎn)生沒(méi)人看得懂但絕對不能動(dòng)不然就會(huì )出錯的神奇代碼的重災區——反正它就是能工作；剛開(kāi)始我還知道為什么得這樣做，一段時(shí)間后就只有上帝知道了。

反碼行為奇特的根本原因在于，它有兩個(gè)零：＋0和－0，分別對應于00000000和10000000——還記得嗎？我們規定第一位是符號位。因此最前面的0/1是±號，并不是數值。

但＋0和－0都是0.它們是同一個(gè)數據，卻得到了兩個(gè)碼點(diǎn)。

打個(gè)比方的話(huà)，這就好像夜里12點(diǎn)就是0點(diǎn)一樣；結果我們的鐘匠師傅沒(méi)想明白，偏偏要在鐘面上、12點(diǎn)和1點(diǎn)之間添加一個(gè)零點(diǎn)——然而邏輯上我們仍然需要12小時(shí)是一圈。

現在，你還想好好調表嗎？算的準準的，8點(diǎn)前擰5個(gè)小時(shí)就是1點(diǎn)了；結果擰完一看，0點(diǎn)？

徹底亂套了，對吧。

而反碼的計算規則呢，無(wú)異于規定了過(guò)12點(diǎn)的方向——正著(zhù)過(guò)正常去1點(diǎn)，反著(zhù)過(guò)會(huì )先停在-0點(diǎn)上，所以必須推一把。

注意這個(gè)調整是計算過(guò)程的一部分，每次計算都必須即時(shí)調整。這是一個(gè)額外的負擔——和顯示時(shí)查表轉換到光學(xué)點(diǎn)陣/向量是不想干的兩個(gè)過(guò)程。

或者說(shuō)，數據的內部表示和外部顯示之間的轉換是另外一個(gè)必不可少的流程。這里只要不是太過(guò)復雜就不能算額外負擔；而原碼/反碼這兩個(gè)編碼方案已經(jīng)影響了計算過(guò)程，造成了額外的性能消耗。

一言以蔽之：能解決問(wèn)題，但是太難看、太復雜。

一個(gè)更好的方案叫補碼。

但是在介紹補碼之前，我先來(lái)講一個(gè)數學(xué)概念—群。

群大概來(lái)源于“算術(shù)運算以及適用算法運算的集合”的抽象，但又超脫于簡(jiǎn)單的四則運算，是一切計算/變換類(lèi)似行為的總綱。

在群的觀(guān)念里，加減乘除都是一種“二元運算”；二元運算是一個(gè)集合G中任意兩個(gè)元素向群中另一個(gè)元素的映射。比如1+1就映射到了2。

注意群有“封閉性”，意思是群中任意兩個(gè)元素經(jīng)過(guò)二元運算后，映射的那個(gè)元素都還要在群中。因此(自然數,加減法)就不是一個(gè)群，因為減法會(huì )映射到負數。

此外，二元運算需要滿(mǎn)足結合律，要有單位元（任何元素與之執行二元運算后都會(huì )映射到該元素自身），等等。

更復雜的東西我也還看不懂（對不起，俺數學(xué)水平太弱雞了）；但了解這么多其實(shí)也已經(jīng)夠了：反碼存在兩個(gè)0，意味著(zhù)對于加法運算來(lái)說(shuō)，它存在兩個(gè)不同的單位元；而根據群的定義，群里面有且只有一個(gè)單位元。

因此，在反碼這個(gè)基礎上無(wú)法定義一個(gè)群——用人話(huà)說(shuō)就是，你不可能期望找到一種不需要判斷的算法，從而基于反碼模擬加減法運算。

沒(méi)錯，反碼有兩個(gè)零這事并不像外行想象的那樣無(wú)關(guān)痛癢——它并不僅僅是浪費了一個(gè)碼點(diǎn)的問(wèn)題，而是破壞了相關(guān)結構的性質(zhì)的問(wèn)題。

如何解決這個(gè)問(wèn)題呢？

不妨返璞歸真，看看這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)。

很簡(jiǎn)單，和上面等待寫(xiě)入時(shí)間信息的無(wú)字鐘面一樣：這里有256個(gè)不同的二進(jìn)制編碼，我們需要給它們分別指定一個(gè)意義。

我們希望它們是連續的編碼，且基于二進(jìn)制的排序不能打亂——這樣我們才能使得基于這些碼點(diǎn)的、拋棄溢出位的加減法運算構成一個(gè)群。

只有它們是一個(gè)群，我們才能簡(jiǎn)單明了的在加法器上支持加減法運算——而不是先算一個(gè)瑕疵值然后想辦法彌補、把硬件/軟件變得復雜。

打個(gè)比方的話(huà)，就是把這些二進(jìn)制編碼按順序排于鐘面，我們要在上面填上帶±號的數字。

原碼的問(wèn)題在于，它的編碼排列“不按固定順序”，使得因此必須把負數先“顛倒”一下（實(shí)際上取反）才能用；而反碼頭疼醫頭腳疼醫腳，大致保證了編碼順序，卻沒(méi)能消除額外的無(wú)效碼點(diǎn)，造成在±0這個(gè)位置兩個(gè)碼點(diǎn)對應一個(gè)編碼。

這兩個(gè)編碼都沒(méi)法自然構造出加法群。

借用@任衛同學(xué)的這張圖：

可以很清晰的看出補碼編碼的連續性。

（相比之下，原碼是0 1 2 3……127 -0 -1 -2……-127，順序上一會(huì )兒從小到大一會(huì )兒從大到??；補碼按照一定的順序編碼但是多了個(gè)-0；

只有補碼，嚴格按照統一的順序連續排列數字）。

既然連續，那么通過(guò)加一個(gè)值（可能為負）調整對稱(chēng)中心（比如0的位置是00000000還是11111111）、然后再引入模運算剔除高位溢出，這個(gè)群就建立起來(lái)了。

換句話(huà)說(shuō)，隨便你如何編碼，只要別改變底層的二進(jìn)制順序、不要有跳躍/重復碼點(diǎn)，那么這個(gè)計算就仍然是一個(gè)群。

這個(gè)計算過(guò)程和最終的顯示是完全脫鉤的，你不需要在計算時(shí)做任何調整——溢出就隨它溢出，反正（在模運算的層面上）算出來(lái)的值總是對的。這是群的性質(zhì)所保證的。

（注意是“模運算的層面上”，換句話(huà)說(shuō)算出來(lái)的實(shí)際意義是什么還是得你自己解釋?zhuān)挥绕涫钱a(chǎn)生溢出之后。）

比如，哪怕你把它的編碼范圍改成[-129, 126]或者[-1, 254]，這也僅僅是一個(gè)加/減一個(gè)整數的映射操作而已；核心計算法則仍然會(huì )滿(mǎn)足你的需求）。

甚至，你規定0代表1、1代表0，最終也不過(guò)是顯示時(shí)換一個(gè)不同的譯碼表而已，并不改變問(wèn)題性質(zhì)。

這個(gè)性質(zhì)是普適的。

7位、8位或者32位、128位二進(jìn)制全都適用。

一旦明白了這個(gè)……再寫(xiě)環(huán)形緩沖時(shí)，你還要費勁巴拉的檢查什么時(shí)候需要繞回嗎？求個(gè)余（或許還需要再視情況不同增減一個(gè)常數），完事。

你看，數學(xué)這種東西厲害吧？

哪怕群論門(mén)檻都摸不到的這么一點(diǎn)點(diǎn)皮毛知識，帶來(lái)的就是眼界水平的差異。

一旦了解了這點(diǎn)皮毛，關(guān)于補碼的種種清規戒律神奇規則，也就平常。

但沒(méi)有這個(gè)眼界，就容易像反碼那樣動(dòng)輒得咎；反之，隨你怎么玩都不會(huì )出界。

沒(méi)錯。別看這東西簡(jiǎn)單；

但想要做第一個(gè)提出的人，你還是需要強悍的洞察力的。

站在群論的肩膀上、反向碾壓這個(gè)問(wèn)題，這是伽羅瓦之后的現代人特有的福利。

審核編輯：黃飛