光束整形中的自由曲面衍射光學設計

從遠古時代，人類就一直在努力改造和整束光線——從阿基米德來燒毀羅馬船只的鏡面盾，到菲涅爾大的手工打磨的燈塔透鏡，再到今天的微光學元件，我們希望光能準確地到達我們想要它到達的地方。

光束整形是一種重要的光學技術，它通過改變入射激光光束的相位分布或者振幅分布，使出射光束在目標面上具有特定的輻照度（或光強）分布。換句話說，光束整形技術能夠實現激光光束能量分布的良好控制，目前已經被廣泛應用于材料加工、醫療、激光打印、光學數據存儲、光譜學等方面。

光束整形方法主要分為幾何光學方法和物理光學方法兩大類。其中，幾何光學方法由于忽略了衍射效應，導致一些情形下的光束整形效果不夠精細，但卻能為物理光學方法提供良好的優化起點。因此，結合幾何光學方法和物理光學方法的復合設計方法，能夠設計出易于加工的自由曲面衍射光學元件，同時能抑制雜散光和散斑噪聲。

非薄元近似和非傍軸情形下，基于幾何光學構建光學自由曲面是一個更為復雜的反問題，文中不涉及。下面我們來看看，在考慮衍射效應的基礎上，光束整形DOE的物理光學設計方法以及結合幾何光學方法與物理光學方法的復合設計方法。

傳統物理光學設計方法

基于波動光學理論描述光場傳播的物理光學方法，是一種精確的光束整形方法。該方法通過純相位型衍射光學元件（DOE）改變入射光場的相位分布，從而在目標面上產生特定的輻照度分布。相比于傳統的折反射光學器件，DOE的質量更輕，體積更小，能實現傳統折反射光學器件難以實現的集成化、陣列化等功能，更符合光電系統輕量化、微型化的發展趨勢。例如一些智能手機采用DOE在有限空間內生成特定的點陣用于人臉識別。

薄元近似下，DOE的面型高度與其對應的相位分布成線性關系。此時DOE的設計問題等價為根據入射面和目標面輻照度分布恢復中間調制元件的相位分布問題。目前，相位恢復問題的物理光學求解方法主要包括：迭代傅里葉變換算法（IFTA）和最優化方法。

1972年，Gerchberg和Saxton提出了經典的GS算法，開創了IFTA的先河。GS算法預先設定一個相位初值，通過快速傅里葉變換（FFT）和逆傅里葉變換（IFFT）在空域約束集和頻域約束集來回迭代從而恢復出未知的相位信息，原理如圖1所示。

圖1GS算法原理圖

將GS算法中的傅里葉變換過程改為不同的衍射傳播過程能夠實現不同場景下的相位恢復，如迭代角譜算法就是將傅里葉變換過程替換為角譜傳播過程，從而能夠適用于更廣泛的衍射場景。GS算法在第k次迭代的過程概括如下：

（1）對輸入面光場gk(x,y)進行傅里葉變換得到頻域面光場Gk(u, v)；

式中：(x,y)和(u, v)分別為輸入面和頻譜面點的坐標。

（2）將計算得到的頻域面光場振幅|Gk(u, v)|替換為已知的光場振幅|F(u, v)|；

（3）對G'k(u, v)作逆傅里葉變換得到傳播回來的輸入面光場g'k(x,y)；

（4）對g'k(x,y)作振幅限制，并將其作為第k+1次迭代的輸入光場，繼續執行第(1)步。

GS算法一般用迭代次數大于特定次數或者損失函數小于特定值作為停止迭代條件，其中第k次迭代的損失函數常用頻域的均方根誤差EFk2和空域的均方根誤差E0k2表示：

GS算法雖然能夠簡單有效地恢復出入射光場的相位分布，但是存在著收斂速度慢、容易陷入局部最優解、依賴初始值等問題。為此，研究者們基于GS算法提出了一系列改善收斂性的改進算法。

我國楊國楨、顧本源兩位學者提出了非幺正變換系統中振幅和相位恢復問題的一般描述方法——楊顧算法，相較于GS算法適用范圍更廣。

Fienup在GS算法的基礎上對空域的幅值約束作了修改，提出了誤差下降（ER）算法，其空域估計值的更新方式為：

事實上，ER算法只在開始迭代的幾個周期內能夠較快的收斂，但在后面的迭代過程中收斂緩慢。為進一步加快收斂速度，Fienup在ER算法的基礎上引入負反饋機制，提出了混合輸入輸出（HIO）算法，相比于GS算法同樣更改了空域估計值的更新方式：

隨后，研究人員發現ER算法和HIO算法交替使用能夠提升算法的抗噪聲能力和收斂速度。由于HIO算法的輸入估計值不是輸出估計值的連續函數，迭代過程中圖像會出現振蕩現象。為此，Fienup提出了連續的HIO算法，進一步提高了收斂精度。

除了引入負反饋機制到空域振幅限制，許多研究者提出另一種放松振幅限制的方法——將目標平面劃分為信號區域和背景區域，并賦予不同的限制策略，從而有效改善信號區域的圖像質量。

除IFTA外，相位恢復問題可以視為一個最優化求解問題，即優化相位分布以實現目標面上輻照度分布盡可能接近于所需的輻照度分布。不同的優化算法相繼在衍射光學元件設計領域得到了應用，如模擬退火算法、遺傳算法、粒子群算法等。這些算法擁有跳出局部最優解的能力，但收斂速度往往較慢。

幾何光學-物理光學復合設計方法

傳統的物理光學設計方法往往都是以隨機相位作為優化起點，優化過程中也沒有考慮相位的平滑性，導致最終得到的DOE表面常常包含許多高頻特征，一方面難以精確加工，另一方面也非常容易受雜散光的影響。同時，隨機相位分布包含許多相位突變和相位渦旋，這會使得目標面重建圖像出現許多黑點狀的散斑。而優化過程中相位渦旋難以自湮滅，導致收斂停滯。

為此，研究者們提出了結合幾何光學方法和物理光學方法的復合設計方法，在考慮衍射效應的基礎上，盡可能保持DOE表面（或其對應的相位面）光滑。

2005年，Kaempfe等人首先采用迭代網格自適應算法求解了一個平滑的幾何光學相位解。之后，用該相位作為 IFTA優化的起點進行迭代，最終優化得到的相位分布比物理光學方法更平滑，同時重建圖像質量比幾何光學方法更好，體現了復合設計方法的優勢。

2015年，馮澤心及其合作者首先數值求解幾何光學近似下的蒙日-安培方程（MA）獲得幾何光學相位分布，隨后采用了一種適合光束整形的改進過補償（MOC）IFTA進一步迭代優化，得到最終的相位分布。該方法由于采用了先進的最優輸運求解算法，針對復雜形式的目標面輻照度分布，也可以較為快速地求解出相應的幾何光學相位分布。另外，該方法采用的對傳統IFTA的過補償策略可以進一步加快算法收斂速度，提升光束整形質量。圖2為馮澤心等人提出的復合設計方法結果：不同方法設計的自由曲面和對應的輻照度分布，其中復合方法（OTMOC）同時實現了表面光滑和圖像清晰。

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圖2（a、b）是幾何光學相位分布對應的自由曲面面形和輻照度分布，可見衍射效應會導致整形效果退化；（c、d）是經過MOC算法進一步優化得到的自由曲面面形和對應輻照度分布圖，雖然此時曲面光滑度有所下降，但是目標面上的整形效果非常精細，包含了許多細節信息。復合設計方法相比于純MOC算法（e、f）和GS算法（g、h）整形質量更好，曲面更平滑。

盡管上述復合方法設計得到的幾何光學相位是連續的，但并沒有控制后續IFTA迭代過程中相位的變化，導致最終優化得到的DOE表面仍然包含一些高頻特征。為此，Schmidt等人提出能夠嚴格控制IFTA迭代過程相位表面起伏的復合算法，并將該復合算法應用在自由曲面全息圖的設計上，如圖3所示。

圖3Schmidt等人利用復合型設計方法設計的自由曲面衍射光學元件將單模光纖出射的高斯光束在遠場轉化為太極陰陽圖光斑

首先采用一種光線映射方法得到全息圖幾何光學相位分布φRefr. (x,y)，隨后為保持后續IFTA迭代過程中全息圖相位的平滑，對迭代過程中相位的變化量φRefr. (x,y)做高斯濾波處理，相位分布的更新方式為：

該更新方式保證了IFTA 迭代過程中全息圖相位的平滑，同時能夠根據加工水平選擇合適的平滑權重以控制表面的起伏程度。

類似地，Doskolovich等人提出了結合程函函數求解和IFTA的復合算法。該方法基于費馬原理將程函函數求解問題表述為一個最優化問題：

采用梯度下降算法求解了程函函數，進而得到幾何光學相位分布。隨后，與Schmidt 等人類似，采用了結合高斯濾波的GS算法進行了迭代優化。設計過程中DOE的相位分布和對應的目標面輻照度分布結果如圖4所示。

圖4 Doskolovic等人提出的復合設計方法。(b)(d)(f)(h)是(a)(c)(e)(g)在目標面上產生的歸一化輻射照度分布

光束整形DOE設計方法發展空間

由此可以看到，復合設計方法既能克服幾何光學方法忽略衍射效應的缺點，又可解決傳統物理光學方法收斂易停滯、相位不規則的問題，能夠設計出易于加工、光束整形質量高的自由曲面衍射光學元件。表1總結了文中所述各類設計方法的優缺點。

從科學和工程的角度而言，光束整形DOE設計方法仍具有研究價值和發展空間，存在許多值得探索的方向：

幾何光學相位求解過程復雜耗時，需要研究更簡潔、更有效的數值求解方法。

研究更快速準確的光場傳播模型和數值計算方法，特別是大衍射角場景的衍射計算。

目前DOE的常規加工方式有刻蝕技術、灰度掩膜法、單點金剛石車削技術、激光直寫技術等。不同加工方式引起的加工誤差有所不同，需要針對特定的加工方式研究對應的加工誤差靈敏度低的設計方法，以使加工后的DOE指標最大限度滿足設計需求。

除上述復合型設計方法之外，近年來基于物理光傳輸模型和自動微分技術的梯度下降算法開始應用于相位恢復領域并取得了成功。該方法借助自動微分技術對梯度進行自動求解，體現了靈活高效的特點。如何基于自動微分技術設計易于加工的DOE 也是值得深入研究的方向。

審核編輯：劉清