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雙視圖幾何:你真的理解嗎?

3D視覺工坊 ? 來源:一點人工一點智能 ? 2023-04-19 10:33 ? 次閱讀
01前言伯克利的馬毅教授在線上開展了為期 2 周的暑期課程,課程主講 3D視覺,課程涉及內容十分豐富,受限于版權原因可能不會公開,所有內容都可以在馬老師的?An invitation to 3D vision?一書中進行深入了解。本篇博客重點解讀 Two View Geometry 的部分內容,這也是馬老師重點強調的內容。其實這部分內容在大多數課程和教材中都有涉及,很多人可能也覺得很簡單,有一定的套路可言,但是如標題所說,你真的理解Two View Geometry嗎?筆者曾面試過 DJI 以及 Nreal 兩家很棒的公司,面試時都問到了這一部分,當時還覺得自己答得不錯,但是聽過馬老師的課程之后發現,其實我也并不是很了解 Two View Geometry。接下來我會依據馬老師的課件以及教材詳細介紹 Two View Geometry, 在這之后的下一篇博客我會介紹一篇 CVPR 2021 的工作 Deep Two-View Structure-from-Motion Revisited,下面進入正式內容。02Traditional Two View Geometry下面這張圖是一個 Geometric Vision 的簡略回顧:9d07d10a-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png大致歷程是:從雙視圖,到三視圖四視圖,再到統一的多視圖。內容我們只涉及雙視圖的,按照書中的標題來說就是:Reconstruction from Two Calibrated Views. 所要做的事情就是,給定兩張同一場景不同視角下拍攝到的圖像,恢復出相機的位姿以及場景的結構。9d1f9100-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png我們假設先前的預備工作已經準備充分,相機已經標定完成,correspondence 也已經匹配完成,那么不失一般性的可以用下面這個等式來進行表述:9d2bd438-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png這里9d32f3da-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png分別表示視角1以及視角2下,對空間中同一個點的觀測,這里是使用歸一化平面坐標進行表達,9d392fca-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png表示9d32f3da-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png對應的深度值,9d45986e-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png表示從視角 1 到視角 2 的 Rigid Body Motion。所謂恢復 motion 以及 structure 就是計算深度9d392fca-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png以及變換9d45986e-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png。(1)式在有多次觀測時,9d392fca-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png是一直變化的,而相機運動9d45986e-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png卻是始終不變的,為了追求統一,雖然說法有些哲學(玄學),但是道理就是這么個道理,我們需要同時叉乘T,消去場景結構帶來的影響,然后就得到了著名的Epipolar Geometry:9d63c6b8-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png我們把9d6c1c0a-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png這個矩陣用9d799d80-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png表示,并稱之為Essential matrix. 這是Longuet-Higgins 在 1981 年發現的,感謝前人貢獻。正如推導過程所闡述的,(2)式只與相機的運動有關, right?并且因為(2)式右邊為0,說明這是一個齊次等式,乘以任意的常數依然正確,而9d32f3da-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png是觀測,9d88b734-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png,因此常數只能給9d92a8fc-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png,這也符合我們的常識,即單目相機沒有辦法恢復尺度。但是沒有關系,we only care about the direction!對極幾何還表達了一個重要的屬性就是3點共面,9d9b29a0-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png表示了這個平面的法向量,right?所以在什么情況下,法向量與9da78e3e-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png點乘為0呢?只能是共面??梢钥吹?,代數與幾何是統一的,你甚至可以直接根據幾何寫出(2)式。對極幾何的表達十分簡潔,并且有許多有趣的性質:9db05848-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png我們來稍加解讀。按照上面的說法,對極幾何其實表達的是三點共面,9dbe6366-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png三個點會形成一個三角形,從而確定一個平面,不論空間點9dc4b748-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png怎么變,9dcd1ee2-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png這條邊是不變的。在幾何層面,線和面不平行就會產生交點,我們稱成像平面與9dcd1ee2-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png的交點為9de0c51e-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.pngEpipoles:9de8bc4c-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png類似的你可以了解 Epipolar line 的定義。具體的性質可以參考馬老師的書,這里我簡單描述一下,9df04c78-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png是極線,但是我們選擇用三角形平面的法向量去描述極線,因為法向量確定了極線就唯一確定了。剩下的挨個理一下就通了。接下來難度會提升一些。對極幾何很美,如何解呢?這個方程是 homo- geneous 的,因此E的自由度為最多為 8,事實上我們知道實際自由度是 5(旋轉矩陣的自由度為 3,不考慮尺度因素,平移向量的自由度為 2),但是暫且不考慮這個。因此如果給定8對 correspondence(這里我們不考慮共線共面以及其他的corner case),至少E可以解出。接下來會面對兩個問題:1. 9d45986e-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png怎么解呢?2.假設你知道怎么解出9d45986e-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png,而實際應用中,我們的correspondence都是很noise的,這樣得到的解也是帶噪聲的,那么如何把噪聲去掉,得到一個干干凈凈的Essential Matrix呢?帶著這些問題繼續往下走。我們通過8個點對,解出的矩陣記作9e0441ce-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png,首先有一點你要了解,不是任何3×3的矩陣都能分解為9d6c1c0a-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png這種形式的,9d6c1c0a-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png的自由度是6,如果upto scale的話,自由度則是5,并且包含一個9e19ef6a-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png的旋轉矩陣部分,因此9d6c1c0a-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png也是一個 special group,有其對應的空間(essential space),或者說 5 維的流形上(essential manifold),當有噪聲時,得到的解9e0441ce-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png會在這個空間外。為了便于表達,我們引入 normalized essential matrix 來消除尺度的干擾:9e312e28-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png在后文我們提到的9e3ba5ba-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png不特殊說明都指的是normalized essential matrix.我們希望能在 essential space 中找到一個距離F最“近”的解,然后將F投影到這個解上,如下圖所示:9e455222-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png在說明怎樣投影前,我們需要先給出三個定理:9e5c238a-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png定理一描述了一個矩陣為 Essential Matrix 的充要條件。9e737a58-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png定理二描述了如何從 Essential Matrix 恢復到旋轉矩陣以及平移方向向量。這里需要注意的是,normalized essential matrix 可以消除尺度的干擾,但是不能消除符號的干擾,代數角度而言,E 和?E 都滿足Epipolar Constraint,因此實際我們能得到四組解。9e7bc3c0-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png定理三給出了投影的方法,我們選擇F-norm作為投影距離的度量指標。這里需要注意的是,9e97db78-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png的SVD分解得到的9ea275c4-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png只滿足正交性,不能滿足行列式為+1的條件,當得到的9eafd67e-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png行列式為?1時,我們會對其取負,在后面我們會用代碼具體解釋。以上三個定理在馬老師的書里都有詳細證明,出于易讀性的考慮后續會單獨的整理到我的知乎上分享。在有了這三個定理之后,整個算法也就明朗了,流程如下:9ebf1058-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png以上就是著名的八點法,你可以在許多資料上看到這個過程,本文的主要目的是梳理八點法的一些思路。我們引用一段 colmap 中的源碼來解讀上述過程:
voidDecomposeEssentialMatrix(
const Eigen : : Matrix3d& E, Eigen : : Matrix3d? R1, 
Eigen : : Matrix3d? R2, Eigen : : Vector3d? t )
{
// 根據對極約束得到的帶噪聲的E做SVD分解 
          Eigen::JacobiSVD svd(
          E, Eigen : : ComputeFullU | Eigen : : ComputeFullV ) ; 
          Eigen::Matrix3d U = svd.matrixU(); 
          Eigen::Matrix3d V = svd.matrixV().transpose();


// 保證行列式符號為正
if (U.determinant() < 0) {
                  U ?= ?1;
          }
if (V.determinant() < 0) {
                  V ?= ?1;
          }


          Eigen : : Matrix3d W;
          W<< 0, 1, 0, ?1, 0, 0, 0, 0, 1;


          ?R1 = U ? W ? V; 
          ?R2=U?W.transpose() ?V; 
          ?t = U. col (2). normalized ();
}


void PoseFromEssentialMatrix ( const Eigen : : Matrix3d& E, 
const std : : vector& points1 ,
const std : : vector& points2 ,
Eigen : : Matrix3d? R, Eigen : : Vector3d? t ,
std : : vector? points3D ) { 7
CHECK_EQ(points1 . size () , points2 . size ());


Eigen::Matrix3d R1;
Eigen::Matrix3d R2; 
DecomposeEssentialMatrix(E, &R1, &R2, t );


// Generate all possible projection matrix combinations.
const std : : array R_cmbs{{R1, R2, R1, R2}}; 
const std : : array t_cmbs{{?t , ?t , ??t , ??t }};
...
}
這里為什么9ecf20e2-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png9ed9d942-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png的最后一行可以留給讀者作為一個思考題,提示是9ee67ef4-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png,然后分析一下矩陣的秩。八點法十分簡潔(當然證明過程比較復雜),但是在實際使用過程中,還是會遇到許多問題的,我們在以下簡要列舉:1. Number of points. 由于 Normalized Essential Matrix 的自由度為 5,在比較 general 的情況下,最少選取的 correspondence 點對為 5(Kruppa在 1913 年的時候給出了五點法,類似八點法會產生 4 個滿足對極約束的解,五點法會產生 10個解),因此選取多少點是一個需要實際使用中考慮的問題。2. Number of solutions and positive depth constraint.雖然八點法給出了四對解,但是實際上只有一個正確解,那么其他三個解怎么排除呢?首先從代數層面,不要忘了最原始的表達式9eee5912-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png,在這個表達式中隱藏了一個很關鍵的約束,深度值應該為正,至于怎么求深度值是三角化部分的知識了,我們不在這里討論,如果你對上述過程熟悉,不難發現就是一個叉乘的技巧?;谶@一約束我們可以將正確的解篩選出來。而從幾何層面來看,就是下面這張圖(From Multiple View Geometry in Computer Vision):9ef3edbe-de57-11ed-bfe3-dac502259ad0.png3. Structure requirement: general position.當觀測到的空間點滿足某些導致退化的條件時(called critical surfaces),使用八點法會遇到解不唯一的情況。一個典型的例子就是觀測點共面的情況,這種時候我們需要使用homography 來解決。4. Motion requirement: su?icient parallax.也就是說,平移量不能為0(為0時也要使用 homography)。需要十分小心的是,在沒有平移移動且匹配十分 noise 的時候,八點法依舊會得到一個很奇怪的平移部分的解,而這個解是毫無意義的。5. Multiple motion hypotheses.運動物體場景,這又是另一個問題了。03結語Essential Matrix 之所以叫 Essential Matrix,就是因為它太重要了, 馬老師花了4節課的時間,介紹two view geometry的內容, 可見其重要性。目前學術的研究主要在于recognition的問題了,也有許多工作還是聚焦在end to end的執著,當然這只是我個人的一些粗淺的看法。審核編輯 :李倩



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原文標題:雙視圖幾何:你真的理解嗎?

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