彩虹角的計算

幾千年前，人們就一直在努力解釋彩虹的起源，艾薩克·牛頓在他1704年的著作中提供了第一個真正令人信服的解釋。

普通白光由整個可見光譜組成，通過使用玻璃棱鏡折射光，牛頓能夠將光分成其組成成分的顏色。我們現在知道光的顏色是由光的波長或頻率決定的：波長越長，頻率越低，光越紅；波長越短，頻率越高，光越藍。不同波長或頻率的光被玻璃棱鏡折射的角度略有不同，這就是導致不同顏色擴散并形成連續光譜的原因。牛頓意識到許多不同的材料也可以折射光（包括水），這就是他理解雨滴形成彩虹的關鍵。

人們早就知道，為了讓某人觀察到彩虹需要三個條件。首先太陽需要在你身后，其次你面前的天空必須有雨滴，第三陽光必須能夠在沒有任何障礙物（例如云）的情況下直接到達雨滴。

光線在液滴的路徑

考慮一束紅光入射到如下圖所示的球形液滴上，我們暫時假設入射角α為45 度，我們希望計算這束光線穿過水滴時的路徑。為了做到這一點，我們將使用斯涅爾定律，該定律將入射角α、折射角β和折射率n聯系起來。折射率被定義為光在真空中的速度與光在所研究材料中的速度之比。

空氣中的光速非常接近于真空中的光速，因此我們可以假設空氣的折射率大約等于1。另一方面，水中的紅光的折射率為1.33。我們可以將此信息代入斯涅爾定律，我們會發現折射角為32.12度。因此我們現在可以確定紅色光線在液滴內移動時的路徑。此后，一部分光線離開液滴，但至關重要的是，另一部分光線反射繼續在液滴內傳播。最后部分光線再次折射，以與進入液滴相同的45度角離開液滴。

如果我們使用的是一束藍光而不是紅光，這會有什么不同？在這種情況下，折射率會輕微改變，現在不是1.33而是1.34。雖然這似乎沒有太大變化，但當我們將其代入斯涅爾定律時，它會產生31.85度的折射角，這導致藍光在液滴內部的路徑與紅光不同，甚至與每一種顏色都不同。每種不同顏色光的折射角差異導致光在每個液滴中分散，最終產生彩虹的彩色帶。

彩虹角的計算

接下來，我們仔細研究一下幾何形狀，先以紅光為例。在一束光入射到液滴再出射之后，出射光線幾乎是與入射光線反向的，我們可以計算出出射光偏離入射光的角度。這個角度很大程度上取決于入射角度α，因此我們把這個偏離角度標記為D(α)。如下圖所示，我們可以把所有角度都標示出來。

根據四邊形的內角和為360度，我們有以下公式，并進行簡化：

我們可以再利用斯涅爾定律，讓空氣的折射率為1，水對紅光的折射率為4/3，于是可以得到：

把最終結果代入上式，我們可以得到：

對于這個結果，最好的方法是用圖把它展示出來。我們以D(α)為縱坐標，以α為橫坐標繪制曲線，如下圖所示。

我們可以從圖中看到有一個最低點，先來求這個最低點所對應的值，再來分析它的意義。在最低點處，它的導數值為零：

最終，我們可以算得入射角α=59.4度，而偏轉角D(α)=138度。那么這個最低點有什么意義呢？如果我們讓入射角從20度到40度，則對應于偏轉角D(20)-D(40)=161-145=16度的偏移；如果讓入射角從50度到70度，則對應于偏轉角D(70)-D(50)=141-140=1度的偏移。換句話說，當入射角α處于最低值附近時，所有偏轉的光線都傾向于聚集在一起，以偏轉角D(α)等于138度為中心。

這種具有138度偏轉角的光線積累意味著此角度的紅光更亮更明顯，與之對應的觀測角42度被稱為紅光的彩虹角，也就是我們看到紅光的最佳角度。此外，通過這種方法，我們也可以算得藍光的彩虹角大約為40度。在這兩個角度之間，我們就可以看到完整的彩虹。

有時候我們還可以看到雙彩虹，在主彩虹旁邊還有一亮度較不明顯的次級彩虹。我們上面計算的是光在液滴中反射一次，如果光在液滴內反射兩次，那么形成的就是次級彩虹，由于篇幅有限，這里就不再進行計算。

審核編輯 ：李倩