三相SVPWM電壓型逆變器的數學模型

最近在研究三相逆變，寫篇博客分享一下。

1.電路拓撲

如下圖所示，為三相電壓型逆變電路的主電路拓撲。主電路主要由四部分組成，直流電源、6個開關管（互補導通）、三個濾波電感和濾波電容組成的濾波電路、負載，實際上是三個星接的電阻。

其中Udc表示直流側電壓，靠近直流側的兩個電容為輸入濾波電容，Ua、Ub、Uc表示為每個逆變橋臂的中點到直流測電壓負極，是逆變橋臂輸出的每相脈沖電壓，Ia、Ib、Ic表示為三個流經濾波電感的相電流，Ea、Eb、Ec表示為電容電壓，也就是負載電壓。Ioa、Iob、Ioc表示為流經負載的電流。

2.逆變器的數學模型

需要通過建立逆變器的數學模型來研究該電路，為下一步設計控制器打好基礎。分析這種電路，往往從電感、電容入手，根據KVL、KCL列寫電路方程，進而得到電路的數學模型。

2.1 逆變器在三相靜止坐標系下的數學模型

根據KVL定理，可列出副邊abc三相的電壓回路方程，公式（2.1）：

式中，R為相應回路電感的等效阻值，Ua、Uc、Uc分別為a、b、c三相的相電壓，Ia、Ib、Ic為流經電感的電流。

根據KCL定理，可以得出副邊電流的回路方程，公式（2.2）

通過公式（2.1）、公式（2.2），我們就得到了該逆變器在三相靜止坐標系下的數學模型。三相靜止坐標系abc下的數學模型雖然能夠很好地買描述電壓和電流之間的關系，但是模型中有多個輸入、多個輸出，表達式和變量比較多，難以設計相應的控制器。

2.2 逆變器在αβ軸坐標系下的數學模型

通過Clack變換可以將模型簡化，得到αβ正交坐標系下的表達式。原理如下圖所示：

因為 Δ/Yo 變壓器的存在使原邊線電壓和為零，所以原邊不存在零序分 量，負載不平衡時作為擾動考慮，因此暫不考慮零軸，對應的變換關系為

式中，變換矩陣

編輯。乘以2/3是因為做的是等電壓的變換，原以是合成后的αβ軸的分量最大值是abc靜止坐標系的3/2倍。還有一種變換類型是等功率的變換，這里不做講述。

將式（2.1）、（2.2）、（2.3）聯立，可以得出對應在αβ坐標系的方程，式（2.4）

經過Clack變換后，減少了控制變量，簡化了控制系統。并且αβ分量相互獨立，沒有耦合在一起，控制起來比較方便。但是傳統的PI控制器對于追蹤交流量效果并不好，會有靜態誤差產生。但對于直流量并不會產生靜態誤差，所以說還要進行Pack變換，將式（2.4）轉換到dq坐標系下。

2.3 逆變器在dq軸坐標系下的數學模型

將兩相靜止αβ 坐標系中的變量變換到兩相旋轉 dq 坐標系中稱為 Park 變換，其原理如下圖所示。

定義Park變換矩陣為，Cpark可以得到如下式(2.5)所示的關系。

中,變換矩陣

通過聯立式(2.4)、(2.5)可以得到對應在dq軸坐標系下的數學模型，表達式為：

通過 Park 變換可將數學模型轉換到旋轉坐標系下。因為坐標系與參考旋轉矢量的旋轉的方向還有速度是相同的，所以它們兩個是相對靜止，在旋轉坐標系下為直流量， 能夠簡化數學模型，使控制更容易實現。

3.逆變器的等效電路模型

在張興的《PWM整流器》這本書中寫到了這種等效變壓器模型電路。

這里的da、db、dc、da'、db'、dc'表示的是對應開關管的PWM占空比，可以用自耦變壓器來代替開關管，進而得出變壓器模型 。

通過前面得出的dq坐標系下的數學模型，進一步可以得到dq坐標系下的變壓器模型。通過這種模型可以幫助我們更好的去理解dq坐標系下的數學模型。

圖畫的不是太好

4.小結

通過以上變換得到了逆變器在不同坐標系下的數學模型，為控制器的設計打下了良好的基礎。實際上控制器是按照dq坐標系下建立數學模型。

這里在建立數學模型的時候并沒有去考慮調制的方法，實際上調制的方法是用來產生Ua，Ub、Uc的，完成建立數學模型并且完成設計控制器，我們就能得到目標的Ua，Ub、Uc，然后根據目標的Ua，Ub、Uc去調制，輸出PWM，來產生原邊電壓，進而達到我們的控制要求。

還有一點就是這里的變換是通過矩陣的形式，在坐標系轉換的運算過程中也是通過矩陣運算來實現的。

例如：

其中：

審核編輯：黃飛