介紹計算電磁學基礎知識及數值方法匯總

一。 計算電磁學的重要性

在現代科學研究中，“科學試驗，理論分析，高性能計算”已經成為三種重要的研究手段。在電磁學領域中，經典電磁理論只能在11 種可分離變量坐標系中求解麥克斯韋方程組或者其退化形式，最后得到解析解。解析解的優點在于：

①可將解答表示為己知函數的顯式，從而可計算出精確的數值結果;

②可以作為近似解和數值解的檢驗標準;

③在解析過程中和在解的顯式中可以觀察到問題的內在聯系和各個參數對數值結果所起的作用。

這種方法可以得到問題的準確解，而且效率也比較高，但是適用范圍太窄，只能求解具有規則邊界的簡單問題。當遇到不規則形狀或者任意形狀邊界問題時，則需要比較復雜的數學技巧，甚至無法求得解析解。20 世紀60 年代以來，隨著電子計算機技術的發展，一些電磁場的數值計算方法也迅速發展起來，并在實際工程問題中得到了廣泛地應用，形成了計算電磁學研究領域，已經成為現代電磁理論研究的主流。簡而言之，計算電磁學是在電磁場與微波技術學科中發展起來的，建立在電磁場理論基礎上，以高性能計算機技術為工具，運用計算數學方法，專門解決復雜電磁場與微波工程問題的應用科學。相對于經典電磁理論分析而言，應用計算電磁學來解決電磁學問題時受邊界約束大為減少，可以解決各種類型的復雜問題。原則上來講，從直流到光的寬廣頻率范圍都屬于該學科的研究范圍。近幾年來，電磁場工程在以電磁能量或信息的傳輸、轉換過程為核心的強電與弱電領域中顯示了重要作用。

二。 電磁問題的分析過程

電磁工程問題分析時所經歷的一般過程為：

三。 計算電磁學的分類

（1） 時域方法與譜域方法

電磁學的數值計算方法可以分為時域方法（Time Domain或TD）和頻域方法（Frequeney Domain或FD）兩大類。

時域方法對Maxwell方程按時間步進后求解有關場量。最著名的時域方法是時域有限差分法（Finite Difference Time Domain或FDTD）。這種方法通常適用于求解在外界激勵下場的瞬態變化過程。若使用脈沖激勵源，一次求解可以得到一個很寬頻帶范圍內的響應。時域方法具有可靠的精度，更快的計算速度，并能夠真實地反應電磁現象的本質，特別是在諸如短脈沖雷達目標識別、時域測量、寬帶無線電通訊等研究領域更是具有不可估量的作用。

頻域方法是基于時諧微分、積分方程，通過對N個均勻頻率采樣值的傅立葉逆變換得到所需的脈沖響應，即研究時諧（Time Harmonic）激勵條件下經過無限長時間后的穩態場分布的情況，使用這種方法，每次計算只能求得一個頻率點上的響應。過去這種方法被大量使用，多半是因為信號、雷達一般工作在窄帶。

當要獲取復雜結構時域超寬帶響應時，如果采用頻域方法，則需要在很大帶寬內的不同頻率點上的進行多次計算，然后利用傅立葉變換來獲得時域響應數據，計算量較大；如果直接采用時域方法，則可以一次性獲得時域超寬帶響應數據，大大提高計算效率。特別是時域方法還能直接處理非線性媒質和時變媒質問題，具有很大的優越性。時域方法使電磁場的理論與計算從處理穩態問題發展到能夠處理瞬態問題，使人們處理電磁現象的范圍得到了極大的擴展。

頻域方法可以分成基于射線的方法（Ray-based）和基于電流的方法（Current-based）。前者包括幾何光學法（GO）、幾何繞射理論（GTD）和一致性繞射理論（UTD）等等。后者主要包括矩量法（MoM）和物理光學法（PO）等等?；谏渚€的方法通常用光的傳播方式來近似電磁波的行為，考慮射向平面后的反射、經過邊緣、尖劈和曲面后的繞射。當然這些方法都是高頻近似方法，主要適用于那些目標表面光滑，其細節對于工作頻率而言可以忽略的情況。同時，它們對于近場的模擬也不夠精確。另一方面，基于電流的方法一般通過求解目標在外界激勵下的感應電流進而再求解感應電流產生的散射場，而真實的場為激勵場與散射場之和?；陔娏鞯姆椒ㄖ凶钪氖蔷亓糠?。矩量法嚴格建立在積分方程基礎上，在數字上是精確的。其實，我們并不能判斷它是一種低頻方法或者是高頻方法，只是矩量法所需要的存儲空間和計算時間隨未知元數的快速增長阻止了其對高頻情況的應用，因而它只好被限定在低頻至中頻的應用上。物理光學法可以認為是矩量法的一種近似，它忽略了各子散射元間的相互禍合作用，這種近似對大而平滑的目標是適用的，但是目標上含有邊緣、尖劈和拐角等外形的部件時，它就失效了。當然，對于簡單形狀的物體，PO法還是一個常用的方法，畢竟，它的求解過程很迅速，并且所需的存儲空間也非常少（O（N））。

（2）積分方程法與微分方程法

從求解的方程形式又可以分成積分方程法（IF）和微分方程法（DE）。IE法與DE法相比，特點如下：（1）IE法的求解區域維數比DE法少一維，誤差僅限于求解區域的邊界，故精度高；（2）IE法適宜于求解無限域問題，而DE法用于無限域問題的求解時則要遇到網格截斷問題；（3）IE法產生的矩陣是滿的，階數小，DE法所產生的矩陣是稀疏的，但階數大；（4）IE法難處理非均勻、非線性和時變煤質問題，而DE法則可以直接用于這類問題。因此，求解電磁場工程問題的出發點有四種方式：頻域積分方程（FDIE）、頻域微分方程（FDDE）、時域微分方程（TDDE）和時域積分方程（TDIE）。

計算電磁學也可以分成基于微分方程的方法（Differential Equation）和基于積分方程的方法（Integral Equation）兩類。前者包括FDTD、時域有限體積法FVTD、頻域有限差分法FDFD、有限元法FEM。在微分方程類數值方法中，其未知數理論上講應定義在整個自由空間以滿足電磁場在無限遠處的輻射條件。但是由于計算機只有有限的存貯量，人們引入了吸收邊界條件來等效無限遠處的輻射條件，使未知數局限于有限空間內。即便如此，其所涉及的未知數數目依然龐大（相比于邊界積分方程而言）。同時，由于偏微分方程的局域性，使得場在數值網格的傳播過程中形成色散誤差。所研究的區域越大，色散的積累越大。數目龐大的未知數和數值耗散問題使得微分方程類方法在分析電大尺寸目標時遇到了困難。對于FEM方法，早期基于節點（Node-based）的處理方式非常有可能由于插值函數的導數不滿足連續性而導致不可預知的偽解問題，使得這種在工程力學中非常成功的方法在電磁學領域內無法大展身手，直到一種基于棱邊（Edge-based）的處理方式的出現后，這個問題才得以解決。