基于特定插入損耗指標的LC四端口網絡綜合設計

這是達林頓(S. Darlington)經典著作，現代網絡綜合的開山之作，濾波器類文章引用最高文章，他總結了之前濾波器的設計方法，并指出其缺陷，首次提出了使用插入損耗來設計濾波器的方法，這種方法一直沿用至今。將這篇文章分四次發表，這是其二。

綜合特定插入損耗指標的LC四端口網絡(二)

SYNTHESIS OF REACTANCE 4-POLES WHICH PRODUCE PRESCRIBED INSERTION LOSS CHARACTERISTICS

包括對濾波器設計的特殊應用
作者 S. Darlington*

使用實際電路結構實現開路和短路阻抗

已經開發出了設計方法，用于設計產生規定的開路和短路阻抗的各種不同的LC四端口網絡電路結構，例如通過第一部分中描述的方法從插入損耗函數確定的阻抗。據說其中一些電路結構是規范的(Canonical)，因為它們可以被設計為具有任何一組可以用物理LC網絡實現的阻抗。其他的則不那么通用，但可以更有利地使用，或者是通用電路結構的特殊情況，已經為其開發了更簡單的設計方法。

Cauer規范電路結構

最簡單的一般設計理論適用于由Cauer (5)引入的兩種規范LC 四端口網絡的設計。它們的電路結構如圖6所示。它們是根據三個開路阻抗或短路導納的部分分式展開設計的，通過注意不同展開的部分分式之間的某些關系以及這些部分分式與各網絡分支的對應關系來設計。由于Cauer已經非常完整地描述了這些網絡，因此在這里沒有必要更詳細地描述它們。

圖6 Cauer的規范LC 四端口網絡

規范的串聯段電路結構

Cauer的規范電路結構僅在LC四端口特性的理論研究中特別有趣。當涉及到實際應用時，幾乎總是更喜歡使用由簡單網絡或段以圖7所示的串聯方式連接而成的等效電路。在選擇性網絡或濾波器的情況下，使用串聯段通常是實際的需要。首先，使用串聯段允許通過不那么精確地調整元件到其理論值來獲得對理論傳輸特性的合理近似。

此外，最常見的濾波器可以以串聯形式構建，而無需使用Cauer規范電路結構的等效網絡所需的互感。

圖7 串聯四端口網絡電路

對于許多用途而言，梯形網絡是串聯組合的最有用形式。然而，即使在最一般的定義下，即任何由交替的串聯和并聯兩端阻抗組成的序列，梯形電路結構也不能用于實現所有可用更一般的電抗四端網絡實現的開路和短路阻抗。另一方面，可以表明，梯形電路結構的稍微修改或推廣總是可以實現的，因此可以被稱為規范電抗四端網絡。該電路結構定義為四種類型的任意串聯組合，如圖8所示，可能在網絡的一端和理想變壓器串聯。

在許多情況下，上述規范網絡中并不需要所有四種類型的段，而且經常出現沒有理想變壓器的情況。事實也證明，串聯電感通?？梢园诖摲种е谢蝾愋偷木W絡中，這樣可以使類型和中的感性耦合不那么理想，甚至可以被這些部分中的并聯自感完全替代。例如，在大多數濾波器中，既沒有類型的段也沒有理想變壓器，而類型中的感性耦合幾乎總是可以消除的。

通用的LC二端網絡。類型和可能是不對稱的。
圖8 產生規范LC四端網絡的串聯段類型

串聯段電路結構的一般理論

一端以恒定電阻終端的LC四端口網絡的輸入阻抗可以很容易地從開路和短路阻抗中確定。相反，可以證明，除了對應于交換輸入或輸出端子的可能性的傳遞阻抗的符號有明顯的模糊性之外，開路和短路阻抗通?？梢詮膶谝幎ǖ慕K端電阻的阻抗函數中確定。該規則的唯一例外對應于導致降低階數的阻抗的終端值，并且對于任何一個網絡，這樣的值只能是有限的。

根據上述原則，獲得規定的開路和短路電抗阻抗的一種方法是，將一個以電阻終端的LC四端口設計為一個二端口，該二端口產生的輸入阻抗由開路和短路阻抗計算得出。在四端口的終端添加適當的理想變壓器，將產生規定的開路和短路阻抗，前提是設計使得輸入阻抗的階數對于規定的阻抗和最終電路結構是正常的。為了從所需的開路和短路阻抗計算輸入阻抗中獲得假定的終端電阻，添加的理想變壓器通常是必要的。

Brune（8）已經展示了如何將任何給定的正實函數實現為A、B和C類型段的串聯組合的輸入阻抗，前提是允許在各段之間包含串聯電阻。當正實函數的電阻段的根僅以相同的對出現并且都是實數或虛數時，可以以一種方式來執行Brune的設計方法，以消除除形成終端的電阻之外的所有電阻。如果Brune的方法被最近的修改所替代，允許使用D類型的段，則對實數或虛數根的要求變得不必要。所獲得的電路結構可以顯示為，具有與規定函數相同階數的阻抗函數將通過終端電阻的一般值獲得，即規定函數不代表降低階數的特殊情況。因此，可以容易地找到與任何可以產生輸入阻抗的LC四端口網絡相對應的串聯段等效物，該輸入阻抗對于電路結構是正常的階數，并且電阻部分的所有根都以相同的對出現。這被證明是所有物理LC四端口網絡的特性。

上述分析證明了通過在A、B、C、D類型的串聯組合的一端添加一個理想變壓器而形成的LC四端口網絡的規范性質。還可以證明，通過一對端子通過電阻終端閉合而形成的兩端阻抗構成一個規范的一般二端口。如上所述，這種類型的二端口可以對應于任何正實函數，前提是電阻部分的根僅以相同的對出現。然而，當允許使用導致降低階數的阻抗函數的終端電阻的特殊值時，對正實函數的限制變得不必要。由于LC四端口網絡的規范性質，這可以通過僅僅展示如何找到一組導致由任何給定的正實函數表示的輸入阻抗的物理開路和短路電抗阻抗來證明。如何完成這一點如下所示。

假設要設計一個LC網絡，以便在遠端以規定的電阻終端時在一端產生規定的輸入阻抗。由于輸入功率和接收功率的相等性，可以通過規定的阻抗容易地計算出在第二個電阻終端輸入端時將獲得的插入損耗。然后可以使用第一部分的通用理論來確定相應的物理上可實現的開路和短路阻抗集。很容易證明，如果它是一個正實函數，那么其中一個將對應于規定的阻抗。

設計流程

現在考慮設計串聯LC四端口網絡的實際操作，該LC網絡產生規定的開路和短路阻抗。如上所述，第一步是計算網絡任意一端的輸入阻抗，該端對應于任意的遠端終端，但要求阻抗函數的階數必須對開路和短路阻抗正常。然后設計一種類型為或的段，使其在被較低次的新物理阻抗終端時產生所需的輸入阻抗。接著設計第二段，使其在被進一步降低階數的新阻抗終端時產生所需的終端阻抗。這一過程一直持續到所需的終端阻抗降低為恒定電阻為止。最后，用理想變壓器與電阻的等效組合代替所需的終端電阻，該電阻與計算原始輸入阻抗時假定的終端電阻相同。

Brune展示了如何將具有實頻軸上極點或根的任何正實函數分別實現為類型為或的段的輸入阻抗，并在降低階數的阻抗下被端接。Brune還展示了如何將沒有實頻軸上的根或極點，但電阻部分有一對相同的實根或虛根的正實函數實現為類型的段在被降低階數的物理阻抗下的輸入阻抗。最后，如果輸入阻抗的電阻部分的所有根都以相同對出現，則每種情況下所需的終端阻抗都具有相同的特性。因此，為了完成設計方法的解釋，只需要展示電阻部分的相同復根的出現如何允許使用類型為的段，就像當根是實數或虛數時使用類型為的段一樣。

D型段的設計

假設某一規定的D型段在阻抗端接時產生規定的輸入阻抗。如果用表示D型段的行列式，并將輸入和輸出網格分別編號為1和2，則與的關系為：

其中，表示D型段在終端的短路阻抗。假設是一個正實函數，其電阻部分具有一對相同的復根，可以證明以下條件始終確定一個物理上的D型段，該線段導致一個比更低階數的物理上的：函數和需要具有一對重復根，它們也與的電阻部分的一對復根重合。

可以輕易證明，上述的和的根的重合會導致阻抗中不是的根的所有根都被抵消，這就排除了在平面的右半部分存在根的可能性。如果還假設D型段是物理上可實現的，簡單的附加分析表明必須實際上是一個正實函數。這證明了本身的正實性，但不排除在中，的重合極點的正留數掩蓋了具有負留數的實極點。最后，可以證明，通過向原始輸入阻抗添加，可以在不改變的相應留數的情況下分離兩個阻抗的任何重合極點?？梢酝ㄟ^證明上述條件導致表達式的根和極點的八次重合來證明的階數降低。

為了證明和的根的條件實際上導致了一個物理上的D型段，首先從該條件推導出元件值的顯式公式，而不考慮物理可實現性的問題。輸入阻抗在這些公式中僅通過及其電阻部分的雙重根處的導數值出現。這允許在公式中用產生輸入阻抗并在適當的恒定電阻下端接的物理LC四端口的開路阻抗替換。然后可以證明，D型段的相應電容和自感將是有限的正實數。

梯形網絡所需的條件

當所有插損無限大的頻率都是實數或虛數時，D型段不必包含在規范串聯段電路中。這是因為完整網絡的無限損耗頻率是各個部分的相應臨界頻率，而D型段僅需要實現無限損耗的復頻率。當D型段不存在時，網絡可以被視為一般的電抗梯形網絡，這可以定義為由LC兩端口組成的交替串聯和并聯支路的任意組合。雖然C型段中的串聯電感之間的耦合使它們比交替串聯和并聯兩端口更復雜，但可以將耦合視為僅僅是實現等效網絡中出現的負電感的裝置。

中間串聯低通梯形電路結構

在上述類型的梯形網絡中可能存在的大量組合，只有少數是常用的。為了確定元件值而不涉及使用前面描述的串聯段的一般理論所需的工作，已經為這些特定電路結構開發了廣泛的特殊設計理論。特殊設計理論最好首先針對圖9所示的特定類型的梯形進行開發，盡管它不一定是鏡像參數理論中的中間串聯型低通濾波器，但也可以被稱為中間串聯低通電路結構。其他常見的電路結構可以通過對這個特例的理論進行簡單的修改來設計。

最早計算圖9所示的中間串聯低通結構的梯形元件值的特殊公式是由Norton（7）作為他的恒阻對濾波器理論的一部分而開發的。盡管Norton的公式代表了中間串聯低通梯形理論發展的重要一步，但已經發現在數值問題中它們所要求的計算過于復雜，通常必須進行非常高精度的數值計算。

圖9 中間串聯低通梯形電路結構

因此，對設計問題進行了廣泛的進一步分析，推導出了一組新的公式。這些新公式在數值計算方面相對令人滿意，并且在各種理論研究中也很有用，例如確定可以用中間串聯低通梯形實現的阻抗。此外，公式的推導涉及另一組公式的開發，這組公式以非常緊湊的形式用行列式表示，并且在某些理論研究中很有用，盡管當應用于普通數值問題時它們具有與Norton公式相同的缺點。

推導設計公式的假設和條件

如果暫時采用某些簡單的假設，中間串聯低通電路結構的梯形設計公式的發展會得到簡化。當這些假設不滿足時，應遵循的方法最好在公式推導出來之后進行研究。首先，最簡單的方法是從假設一組開路和短路阻抗開始，這些阻抗預先知道適合該電路結構，將具有這種特性的阻抗問題留到以后解決。盡管可以找到需要排除某些解的特殊阻抗集，但進一步假設阻抗是這樣的，通常遇到的元件解的多重性都是可能的。盡管在某些特殊情況下，某些開路和短路阻抗的階數可能會降低，但暫時假設所有插損無限大的頻率都是不同的，并且所有開路和短路阻抗對于該電路結構都是正常階數，也可以避免某些困難。

以下關系適用于與上述假設一致的任何中間串聯低通電路結構的梯形網絡，是所有已知元件值公式的基礎。首先，并聯支路的諧振與插損無限大的頻率相同，除了在無窮大處的一個無限損耗點。其次，在并聯支路諧振時，任何開路和短路驅動點阻抗的假設值獨立于與其終端被并聯支路隔開的元件，該并聯支路在梯形中起短路作用。最后，在假設電路結構的正常階數阻抗下，驅動點阻抗函數相對于頻率的導數具有相同的特性。

事實證明，上述關系足以從一個開路或短路驅動點阻抗以及插損無限大的頻率來確定所有元件值，除了開路阻抗情況下的遠端電感。通?？色@得的解的多重性只是由于無限損耗的有限頻率可以任意分布在并聯支路作為其各自的諧振。為了獲得唯一的解，最好一開始就假設已經選擇了特定的分布。然后問題就變成了將一個已知的LC二端阻抗實現為中間串聯低通電路結構的梯形的開路或短路阻抗，其并聯支路諧振已經規定。

連分數展開基礎

元件值公式的開發需要引入廣泛的特殊符號，以便將設計問題簡化為確定已知函數的特別簡單的連分數展開。首先，考慮圖10所示的各網絡支路阻抗的指定中的常數，用而不是表示，這樣更簡單。 常數代表以表示的并聯支路諧振或無限損耗有限點的倒數，因此假定它們是已知的。因此，所考慮的問題相當于確定所謂的梯形網絡系數，因為從這些系數和一起確定元件值沒有任何困難。為了避免前面提到的設計公式的歧義，這些公式僅僅是各個的特定公式，方便地包含附加要求，即系數等的編號應從它們要計算的特定開路或短路驅動點阻抗的端子開始。

圖10 中間串聯低通梯形的阻抗支路設計

眾所周知，將2端阻抗實現為規定電路結構的梯形網絡的輸入阻抗的問題相當于獲得阻抗的某種規定形式的連分數展開或一些相關函數的問題。對于所考慮的特定網絡，如果要展開的函數是通過將阻抗函數除以或其等效的而得到的，則所需的連分數是最簡單的。換句話說，最好定義為

其中是計算系數等的開路或短路阻抗。

由于是的奇有理函數，因此必須是的函數。這建議用新變量替換以降低的次數。然而，事實證明，如果使用此變量的倒數，則會獲得更簡單的連分數。因此，引入了以下附加符號：

其中表示新變量，而表示對應于無限損耗頻率的的值。用這種符號表示，所需的連分數展開具有以下形式：

問題是解決這個恒等式的，假設常數和變量的函數是已知的。

在推導通過上述問題的解決而開發的更有用的公式時，分析的第一部分致力于推導前面提到的以行列式形式緊湊表示的替代公式。最終的公式然后通過將行列式展開為函數的部分分式表示來推導。由于推導的兩個部分都涉及漫長而復雜的代數運算，因此在這里只對其進行簡要概述。如果行列式中初步公式的陳述先于它們推導的概述，將更加明晰。

以行列式表示的的公式

在的初步解中出現的行列式由形成，定義為上述符號表示的：

其中,?等用于表示和在等處的取值。使用符號和是一致的，因為是當接近時所接近的極限。

行列式本身有三種不同的類型。行列式定義為，其中和取值從1到。即，

行列式是通過將的最后一列的元件更改為1而獲得的。即，

最后，行列式是通過將的最后一列的元件從更改為而獲得的。因此，

除了之外，所有這些行列式都給出了梯形網絡系數的公式。這些系數由以下設計方程給出：

系數對應于形成最后一個串聯支路的電感。如果函數是從開路阻抗獲得的，則必須從其他阻抗確定該系數。如果對應于短路阻抗，則可以從在零頻率下的值或通過使用上述公式和任意附加常數來找到。

上述公式可以通過一種相當直接但冗長且繁瑣的歸納法推導出來。首先從Norton方程或直接從連分數（25）在和附近的行為推導出前四個系數的公式。這給出了上述的關于和的特殊公式，并顯示了關于和的公式與關于和的一般公式一致。然后證明如果關于和的公式是正確的，那么關于和的公式也必須是正確的。這首先通過使用關于和的公式來表示從網絡中移除前兩個分支（對應于和）所得到的“簡化”阻抗中的和來完成。然后將這個“簡化”阻抗替換為原始阻抗和關于和的公式的等效表達式。最終通過對結果方程中行列式的大量操作得出關于和的一般公式。

除非所有的常數都是不同的（符合最初的假設，即沒有兩個相同的無限損耗頻率），否則公式（30）是不確定的。然而，可以通過假設無限小的差異并使用Taylor級數展開表示作為?的函數來處理重合的無限損耗頻率。當所有的無限損耗頻率都是相同的，除了一個在無窮大處的頻率時，連分數（25）變成一個由Fry（12）考慮的Stieltjes分數類型。無疑可以通過Taylor級數方法從（30）推導出Stieltjes分數展開中的已知常數公式。

在得出最終公式后，通過展示如何擴展第一組行列式，最好考慮除了沒有兩個相同頻率的無限損耗之外的摒棄原始假設的效果。

通過展開行列式推導最終設計公式

可以輕易證明，如果將函數展開為部分分數的和，只要從中推導出的開路或短路驅動點阻抗在物理上是可實現的，該展開將始終采用以下形式：

在這個表達式中，除了有時可能為零之外，所有的和都是正的且都是有限的。

根據的部分分數展開，如(26)中定義的行列式元件變為：

而只需在此公式中將等于即可得到。出現在的公式(30)中的由(27)至(29)定義的行列式可以根據這些的部分分數表示進行展開。然而，這些展開的推導過程太長且復雜，只能在此簡要概述。

在推導行列式的展開時，首先檢查與展開中的部分分數數量相同的特定行列式。發現這個特定的行列式可以表示為兩個一般形式為的行列式的乘積，這在行列式理論的著名論文中進行了評估。然后證明了較高階的行列式必須為零，而較低階的行列式則等同于可分解的相似行列式的和。這些和中的每一項實際上都是通過僅使用的部分分數中的個來獲得的行列式，即，通過將(32)中除了個之外的所有設置為零。對于每個可能的個部分分數的選擇，必須有一個這樣的項。確定了行列式的展開之后，可以通過將它們視為行列式的某些極限情況來展開和行列式。

當將這些行列式的展開插入到用于計算的方程(30)中時，可以消去無窮大損耗點等之間的差的各種因子。然后，這些公式變為：

其中，代表原始行列式展開的未取消部分。

這些最好用這些量來表示，這些量由遞歸公式定義：

用這些量來表示，在一般情況下需要非常復雜的求和和乘積符號。因此，最好通過列出足夠多的特定情況來避免一般情況的必要性，以確定這樣的聲明必須顯示什么。

簡化后的的公式列在表I中，以及在實際計算梯形網絡系數時所需的額外先前關系。這些足以表示一般情況，并且對于普通的設計目的也足夠了，特別是當網絡的兩端的阻抗已知時，可以從每端確定部分元件。然而，通過為特定段數開發更專門形式的方程，可以獲得一些額外的簡化。阻抗在零和無窮大的行為也可以有利地用于確定一個或兩個系數，對于這些系數，標準公式最復雜或用于檢查目的。還推導出了對稱格型網絡的梯形等價的特殊簡化公式，這些公式通常在對稱電路的設計中首先計算。然而，當考慮格型網絡的理論時，最好在后面介紹這些公式。

在普通的數值問題中，展開的公式不需要極高的計算精度，而在使用Norton方程或行列式公式時通常需要這種精度。同樣，當遇到無限損耗的重合頻率時，展開的公式不會像其他公式那樣變得不確定。盡管從一個問題到另一個問題，這種情況的階數可能會有很大差異，但這些公式也會導致普通設計問題中更直接的數值計算。雖然公式的復雜性隨著網絡復雜性的增加而迅速增加，使它們不適合設計超過四段或可能五段的梯形網絡，但很少遇到這樣復雜的網絡。最后，一般段數的梯形公式假設一種形式，使它們在研究低通梯形網絡的阻抗要求或避免耦合線圈等的可能性等一般研究中很有用。

表I：一般中間串聯低通梯形網絡

以及其它乘積和的和。

插入損耗函數與可通過中間串聯低通梯形結構實現的阻抗

中間串聯低通梯形結構適合實現如下形式的插入功率比：

其中，表示梯形中的并聯分支數量，而和為任意常數。除了對應于和的離散選擇的某些特殊情況外，總是可以通過直接的方法找到可與中間串聯低通梯形結構實現并受電路結構的正常階數和元件值的正常多重性先前假設限制的相應開路和短路阻抗。

確定阻抗的第一步是使用的分子和分母作為多項式和，為第一部分的一般阻抗理論中的多項式和找到解。很容易證明，部分中指示的多項式的解的多重性是這樣的：就一般可實現性而言，和的符號可以任意選擇，也可以選擇的符號。除了上面提到的非常特殊的情況外，如果和的符號按照以下條件選擇，則第一部分中方程（18）中展示的阻抗公式會產生與所需類型的梯形相對應的可實現阻抗：在零頻率下必須為正，在無限頻率下必須為負，而在零頻率下必須為正或為負，這取決于終端是大于還是小于。

特殊情況下遇到的困難

在特殊情況下可能遇到的困難分為兩種類型。第一種類型，盡管阻抗函數具有該電路結構的正常形式，但仍可能遇到。第二種類型對應于由于相應通用公式的分子和分母的根重合而出現的各種開路或短路阻抗，其階數較低。

可以證明，如果所有的阻抗都是正常階數，則無窮損耗的有限頻率不能與開路或短路驅動點阻抗的根或極點重合。因此，表I的設計公式中出現的量的對應值都將是有限的。在這些量中，總是正的，但和可能是負的。因此，由表I中指示的方式由形成的量都將是有限的，但量和可能為零。的消失僅僅是用一個簡單導體代替了一個串聯電感，但的消失導致了對三個網絡分支的要求，這些分支在所有頻率上都具有無窮阻抗，一個并聯分支和兩個相鄰的串聯分支。

如果不再假定所有的的解的多樣性都是物理的，則通?？梢酝ㄟ^修改特定無窮損耗頻率的選擇來克服這種類型的困難，這些特定頻率應作為各個并聯分支的諧振，或者選擇對應于相同插入損耗的不同阻抗集。然而，有可能遇到所有解決方案都導致相同困難的情況。然后必須修改梯形電路，至少使用一個反諧振電路作為串聯分支。這可以通過適當地修改正常的設計方法來實現。

當存在與開路或短路驅動點阻抗的根或極點重合的無窮損耗的有限頻率時，一些阻抗函數的階數將降低。然后，通?？梢酝ㄟ^將終端串聯或并聯分支或兩者都添加到具有正常電路結構阻抗的中間串聯損耗通梯形電路來實現阻抗。然而，通常也可能僅僅通過使用在計算元件值時仍具有正常階數的阻抗來獲得正常中間串聯低通形式的完整網絡。當所有阻抗都降低階數時，可以使用正常設計方法的修改，或者使用適用于規范串聯段電路結構的一般方法。

消除各種元件

允許任何或所有無窮損耗的頻率置于無窮大處沒有任何困難。這僅僅要求相應的并聯分支是簡單的電容而不是諧振電路。通過在（35）中將適當的設置為零，以及在表I的設計公式中將代表它們平方的相應設置為零來進行設計。

式（35）的一般形式中的某些功率比也導致一個或多個串聯電感的消失。這類情況中有一個特殊情況特別重要，在這種情況下，一個終端串聯分支消失，而下一個并聯分支是一個簡單的電容，留下圖11所示的網絡類型。功率比的適當形式是通過將分子中的項減少一個，并將的數量也減少一個從（35）中獲得的。換句話說，

圖11 與插入損耗函數的特殊形式相對應的中間串聯低通梯形電路結構的特殊形式

其他常見類型的梯形網絡

圖12所示的梯形網絡電路結構可描述為中間并聯低通電路結構，通過重新定義系數（與圖中所示的分支阻抗相對應）可以非常容易地進行設計。這些系數與短路和開路導納的關系與中間串聯類型梯形的系數與開路和短路阻抗的關系完全相同。因此，當中間串聯和中間并聯梯形網絡在和端接時，只要它們的系數滿足以下方程關系，就會產生相同的插入損耗：

其中，和分別是中間串聯和中間并聯梯形網絡的系數，必須在兩個網絡中從相反的兩端進行編號。

在中間串聯類型梯形網絡中可實現的負電感在相應的并聯類型電路結構中變為負電容。然而，可以通過以適當的方式引入理想變壓器來實現這些電路結構。要了解如何實現這一點，只需注意，由任何二端元件（如電容）并聯的理想變壓器等效于一對“完全耦合阻抗”，與完全耦合電感類似。

其他類型的梯形網絡可以通過使用眾所周知的頻率變換方法來設計。先前的設計公式適用于確定一個由電抗元件組成的低通梯形網絡，該網絡產生的插入損耗由的適當函數表示。假設通過將替換為相關變量，將其他一些插入損耗函數變換為相同的函數。由于低通濾波器理論中的電抗元件僅僅是用于產生與或其倒數成比例的阻抗的裝置，因此現在可以使用相同的理論來設計一個由與或其倒數成比例的阻抗組成的相應梯形網絡。如果原始低通梯形網絡的所有元件都是正數，則變換后的梯形網絡的阻抗分支可以用物理兩端元件實現，條件是代表物理阻抗函數。如果原始低通梯形網絡包括可通過耦合線圈實現的負電感，則變換后的梯形網絡中的負元件可以通過使用理想變壓器來實現，就像包括負電容的中間并聯低通梯形網絡一樣。

圖12 中間并聯低通梯形網絡電路結構

通過在低通梯形網絡中用電容替換電感或反之，可以獲得中間串聯和中間并聯高通電路結構。這些電路結構可以通過定義為并使用由的函數表示的功率比來設計，這些函數與適用于低通電路結構的函數相同。帶通電路結構可以通過定義為來設計，前提是當它們的插入損耗特性相對于繪制時，它們關于對稱。然后，它們可以作為所有諧振在的串聯和并聯諧振電路的組合來實現。帶阻電路結構的情況與此完全類似，其為。

通常遇到的其他梯形電路結構只有圖13所示的更一般的帶通類型及其逆類型。所示的串聯類型通?？梢栽O計為一個等效的更簡單的網絡結構，如圖14所示。它可以通過圖15A所示的所謂的阻抗變換從等效網絡中確定。等效網絡本身的形式是這樣的，表I的公式可以直接應用于其設計。例如，在遠離變壓器的端子處測量的短路驅動點阻抗是由一個與確定中間串聯低通梯形網絡的開路阻抗完全相同的電路結構確定的，該梯形的遠端端子并聯分支由一個簡單的電容組成。表I的公式沒有涵蓋的唯一操作是變壓器阻抗比的確定，它由開路和短路驅動點阻抗在零頻率時的行為來確定。

圖13 一般的中間串聯帶通梯形網絡電路結構

圖14 圖13網絡的等效電路

圖15 表示阻抗變換原理的網絡等效電路

圖13的逆電路結構由并聯諧振電路代替串聯諧振電路組成，其設計方法完全相同，借助圖15B所示的等效關系進行設計。

正元件的充分條件

從實際構造的角度來看，在實現物理梯形網絡中的負元件時有時需要完全耦合的電感和理想變壓器，這是非常不理想的。下面陳述的兩個條件足以確保中間串聯低通梯形網絡中的所有元件都是正的，使得在梯形網絡本身或與梯形網絡通過頻率變換或反演關系（如式（37））相關聯的其他網絡中，不需要使用耦合線圈或理想變壓器。雖然這些條件不是必需的，但它們在證明濾波器設計中遇到的大多數梯形網絡都期望在不使用耦合的情況下實現時非常有用。

假設一個中間串聯低通電路結構和適當一般形式的阻抗，第一個條件要求所有無窮損耗的頻率都是實數（或無窮大），并且大于至少一個開路驅動點阻抗的所有有限極點。第二個條件要求與最接近終端的并聯分支的諧振相對應的特定無窮損耗頻率也等于或大于相應開路阻抗的所有根。通過檢查表I的公式并回顧所有的和都是正的，很容易建立這些條件的充分性。

一個有趣的特殊情況是所有的無窮損耗頻率都出現在無窮遠處?？梢钥闯?，上述條件在這個特殊情況下總是滿足的。因此，所有形如式（35）且所有的都為零的功率比都可以用與定-k低通鏡像參數濾波器相同電路結構的網絡來實現，前提是滿足一般物理要求，即它在所有實頻率下必須不小于。對于所有的都為零的功率比（36），情況也是如此，相應的定-k電路結構僅包括奇數個“半段”。這兩個特殊的功率比包括中的所有偶次多項式，它們具有單位常數項，并且滿足實頻率下的物理極限。

對稱和逆阻抗梯形網絡

用作濾波器的梯形網絡通常具有滿足兩個特殊條件之一的阻抗和終端。一種條件要求電對稱網絡和相等的終端。另一個要求每個開路阻抗相對于終端的平均值等于網絡另一端短路阻抗的倒數。

如果要滿足對稱性或逆阻抗的要求，在第一部分中，與插入損耗相關的阻抗公式（18）中的多項式或必須恒等于零。對和與插入功率比的關系的檢查表明，它們的抵消需要以下形式的表達式：

在對稱網絡和相等終端的情況下，以及

在逆阻抗網絡的情況下。

功率比的（38）和（39）形式的指標簡化了設計方法，因為在確定和時不需要提取根，唯一的根提取涉及找到多項式和。很容易證明，這些功率比物理實現所需的條件允許和是的任何具有實系數的偶次多項式。換句話說，對于一般形式的每個功率比

至少有一個對應的對稱或逆阻抗網絡，其中是的任何具有實系數的奇或偶有理函數，而代表，并且當為奇函數時，它必須為1。

當的所有極點都是實數或虛數且有限時，導致對稱網絡的功率比（38）可以用適用于圖9所示的正常電路結構中的中間串聯低通梯形的形式（35）來表示。當遵守相同的條件，除了一個在無窮遠處的項的單極點，并且當還選擇和使得在零頻率時為零時，導致逆阻抗網絡的功率比（39）可以用適用于圖11所示的在一端以并聯電容終端的中間串聯低通梯形的形式（36）來表示。對于非中間串聯低通電路結構的梯形網絡，存在完全相似的關系。

圖16 平衡格型電路網絡結構

格型網絡與對稱梯形網絡的設計

眾所周知，對于每一個電氣上對稱的實際網絡，都存在一個如圖16所示的等效格型網絡。當開路和短路阻抗已知時，可以通過公知的公式非常容易地計算出阻抗臂。然而，當需要設計一個LC格型網絡以產生形式為(38)規定的功率比時，通過下面描述的公式確定阻抗支路比先計算開路和短路阻抗，然后再計算阻抗臂的方式更簡單。

當功率比以形式(38)給定時，值顯然可以表示為的兩個多項式的乘積：

表II 中間串聯梯形低通網絡與格型網絡等效

一級?

兩級?

三級?

其中都是偶次多項式，使得的所有根都是的具有負實部的根。結果表明，產生規定功率比的一個格型網絡的阻抗臂和與等的關系由以下公式給出：

其中表示相等的終端電阻。獲得與規定的功率比對應的其他三個LC格型網絡，可以通過交換這些阻抗并用它們相對于的倒數來替換它們來實現。

在設計具有規定插入損耗的對稱梯形電路時，通常從等效格型網絡確定元件值比從開路和短路阻抗確定元件值更容易。例如，在設計一個、兩個或三個并聯支路的中間串聯低通梯形電路或相關網絡時，可以使用表II中列出的特殊設計公式。這些公式的推導方式與表I中的一般公式非常相似，通過使用開路阻抗來制定（30）中行列式的部分分式展開，并注意對稱所需的常數之間的關系。常數之間的關系是由于開路阻抗與兩個阻抗臂之和成正比，這要求相應部分分式的和在插損無限大的頻率下相等。即使不使用其他特殊關系，將開路阻抗作為兩個函數之和的初始確定也簡化了使用表I所需的部分分式展開的計算。

腳注

[30]. 部分并不一定意味著具有鏡像參數理論的屬性的濾波器部分，而僅僅是當四端口網絡串聯連接時的組合的組成部分。
[31]. 互感的要求大大增加了構建網絡的難度。如果需要線圈之間的理想耦合，它只能是近似的。如果要求低于理想耦合，則很難同時調整自感和互感。
[32]. 通過根據逆網絡和頻率變換的原理對C型和D型部分進行適當修改，可以獲得由類似串聯部分組成的其他規范網絡。然而，在這里考慮上述串聯組合的特殊類型就足夠了。
[33]. 根據LC四端口的行列式及其各種余子式，輸入阻抗為。除非在特殊情況下，相同因子的抵消導致阻抗函數的次數降低，這需要和與和成正比，其中和是阻抗函數的最簡單有理分數表達式的分子和分母。行列式的必要偶性和奇性只允許對開路和短路阻抗有兩個相應的解。事實證明，從一個解過渡到另一個解會改變的符號，因此只有一個解是物理的。
[34]. 函數的電阻部分定義為偶數部分，僅表示實頻時的實部。
[35]. 更詳細的設計方法將在后面進行說明。
[36]. 根據LC網絡的行列式? 及其各種余子式，輸入阻抗的電阻部分表示為。顯然，分母的單根只有在具有特殊值時才能與分子的任何雙根重合。
[37]. 由于阻抗函數通常必須小于電路結構的常規次數，因此通常存在等效的2極，代表更有效地使用元件。盡管存在這種實際缺點，但了解這種特殊2極的規范性質對于一般網絡理論問題是有用的。
[38]. 具體來說，損耗可以借助第一部分的（16）進行計算。
[39]. 在設計的每個階段減少終止阻抗次數的精確方式是導致原始輸入阻抗為正常次數的最終電路結構的原因。
[40]. 從輸入阻抗計算終止阻抗可以消除阻抗部分的一對相同根，從而降低阻抗函數的次數，并且可以將一對或多對相同的實根轉換為阻抗函數的根或極，或者反之亦然。否則，阻力部分的根保持不變。
[41]. 如前所述，第一部分的理論可用于證明任何正實函數都可以實現為電阻終止LC四端口的輸入阻抗。
[42]. 網絡的無限損耗頻率是指通過一般有限電阻終端獲得的無限損耗頻率，不包括將插入電壓比的一般表達式的根和極重合的任何特定終端。每個無限損耗頻率都包含在以下一組或多組臨界頻率中：開路傳輸阻抗的根，短路傳輸阻抗的極，網絡同一端的開路和短路驅動點阻抗的重合根或極，以及通過電阻終端獲得的輸入阻抗的電阻部分的零點。
[43]. 在許多情況下，可以消除負電感而無需引入耦合，但是這樣做的條件并不簡單。
[44]. 這種類型的梯形顯然等效于通常與由一個或多個由簡單串聯電感組成的A型部分結合使用的C型部分。
[45]. 諾頓（Norton）引入了這些關系作為他的設計方程的基礎。
[46]. 在當前的假設下，無限損耗的有限頻率是開路傳輸阻抗的根，也是相應短路阻抗的有限極。
[47]. 這似乎與眾所周知的事實相反，即需要三個阻抗才能確定一個四端口網絡。這里提供的其他數據是通過假設適用于受特殊限制的特定電路結構的阻抗來提供的?；叵胍幌?，除了網絡遠端的兩端并聯支路外，還可以根據一個短路驅動點阻抗和短路傳輸阻抗來設計考爾（Cauer）的并聯或導納型規范LC四端口。對于正在考慮的特定電路，在等效并聯類型規范網絡中不存在終端并聯支路，而可以從短路驅動點阻抗和無限損耗頻率中找到短路傳輸阻抗。
[48]. 盡管變量在第一部分的一般理論中更方便，但事實證明在本文考慮的梯形網絡理論中更方便。
[49]. 當稍后允許無限損耗點變為無限時，無限損耗點的值的倒數比其值本身更方便。
[50]. 例如，Fry（12）描述的各種梯形對應于Stieltjes分數。
[51].?的公式涉及。如（27）、（28）和（29）所定義，這些量看起來很奇怪，因為它們只是一階行列式。然而，這些一階行列式僅代表。
[52]. 如果對應于短路阻抗，可以假設在短路處連接了一個任意的并聯支路，因為它不會影響。這允許被準確地確定，就好像有一個完整的額外“部分”一樣。
[53]. 這個推導還沒有得到嚴格的證明，但已經進行得足夠遠，可以指出公式轉換的方式。
[54]. 例如，參見Scott和Mathews（13）的論文中關于功能行列式的章節。
[55].?和類型的高階行列式的類似消失顯示了連分數的有限性質（25）。
[56]. 離散選擇常數意味著總是可以通過單個常數的微小變化來避免的選擇。當然，假設滿足物理要求，即它必須是正的，并且在所有實際頻率下都不小于。
[57]. 如果允許修改中間串聯的低通梯形網絡，實際上所有解通常都是可實現的。例如，如果網絡的一端包含理想變壓器，則可以違反對或符號的要求。同樣，如果向梯形的一端添加并聯電容器，并且允許用完全耦合的線圈實現負串聯電感，則可以正常違反對符號的要求。
[58].?當然也可能是負的，導致負元件，但這些都可以通過耦合線圈來實現。
[59]. 然而，與諧振并聯支路相鄰的終端串聯電感的消失通常不會以這種方式改變功率比表達式中分子的次數。
[60]. 當然，在頻率變換中包含任意常數因子有時更方便。例如，在帶通濾波器的設計中，通常方便的是首先設計一個截止頻率為的低通濾波器。然后，通過用代替來獲得所需的帶通濾波器，代表

其中對應于帶通濾波器的兩個截止頻率。
[61]. 除了一個或多個并聯支路是簡單電感的限制情況外，這種類型的等效總是存在的。通過用電容代替電感，反之亦然，總是可以得到類似的等效電路結構，除非一個或多個并聯支路是簡單的電容器。當遇到簡單的電感和電容并聯支路時，必須使用特殊的設計方法。
[62]. Norton（14）發現了由圖15A和15B表示的阻抗變換原理。在確定圖13所示的網絡電路結構與圖14所示的類型之一時，串聯電容如何在不同的串聯支路之間分配存在相當大的任意性。
[63]. 除非它們被修改以補償耗散效應。
[64]. 如果在網絡描述中使用像阻抗和傳輸常數，則這些條件分別要求相等和反向的像阻抗。
[65]. 當為奇數且不等于1時，開路驅動點阻抗的比值，與相應短路阻抗的比值相同，將等于終端的比值。這允許使用對稱網絡與理想變壓器的組合。在反向阻抗網絡的情況下允許不等終端是方便的，而在對稱或比例阻抗的情況下則不方便，因為在反向阻抗的情況下，如果要避免理想變壓器，通常需要不等終端。
[66]. Campbell（15）指出了這一點。
[67]. 就形式（38）的功率比而言，多項式和有些任意。然而，結果表明，盡管存在這種任意性，但只有四個相應的格型網絡。

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審核編輯：黃飛

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