如何優化選擇PWM濾波器的元件值？

關于如何為任意特性的PWM選擇最佳濾波器元件值的討論很少，更不用說針對一種設計中所提到的特定PWM(8位，1MHz時鐘)。在本文中，我將介紹一種針對任意周期PWM優化這些更簡單濾波器的方法。

最近EDN美國版上有一系列基于PWM信號“處理器”主題的設計實例發表。這些處理器的目的是最大限度地減少響應PWM占空比變化的建立時間和殘余PWM紋波。在許多情況下，更簡單的處理器——僅由一個由電阻器和電容器構建的低通濾波器組成——表現良好(圖1)。

圖1：帶有低通濾波器的簡單PWM處理器，該低通濾波器由電阻器和電容器構成，其結構只能實現實極點。

然而，關于如何為任意特性的PWM選擇最佳濾波器元件值的討論很少，更不用說針對一種設計中所提到的特定PWM(8位，1MHz時鐘)。在本文中，我將介紹一種針對任意周期PWM優化這些更簡單濾波器的方法。

讓我們從一些術語開始：我們將未濾波的PWM描述為具有B個位、占空比為d、周期為T，以及(無單位)輸出值為0或1。(警告：如果各位只想為問題找到解決方案，而不想體驗推導的快感和數學的痛苦，請跳到本文末尾的“實現解決方案”部分。)

對于具有負的不等極點p1、p2和p3的任何三階濾波器，單位階躍的時域響應為：

如果有兩個或三個極點相等，則響應不同。對于三個極點的情況，它是：

我們的興趣之一是穩定到1的指定分數F所需的時間(ts)(從d=0到1的滿量程PWM轉換的最壞情況)。最好是處理幅度穩定誤差(ASE)——h(t,p1,p2,p3)=1–hh(t,p1,p2,p3)。ASE在時間t=無窮大時將完全穩定(變為零)。我們可能會想知道是什么樣的ts值才能使得h(ts,p1,p2,p3)=F=2-B-1，即PWM的1/2LSB。當然，如果應用能產生更小的最大占空比階躍，則可以做出其他選擇。

我們還對濾波后的PWM紋波的幅度感興趣。濾波器的頻率響應為：

其中j=(√-1)，ω是以弧度/秒(rad/s)為單位的頻率。

未經濾波的PWM輸出可以表示為頻率為1/T=ωPWM/(2π)(Hz)整數倍的無限多個正弦曲線的總和。當d=50%且頻率為ωPWM時，可產生的最大幅度正弦波具有2/π的峰值幅度。整個PWM信號將通過一個低通濾波器，而使得多次諧波比一次諧波衰減得更多。在這些條件下，一個相當好的低通濾波器的輸出，將幾乎只包含ωPWM的頻率。很明顯，過多的紋波和過長的穩定時間同樣會讓人掃興。因此，我們試圖了解濾波器的ωPWM和ts，以便使ASE和紋波幅度都等于F，也就是說，它們能滿足H(ωPWM,p1,p2,p3)=π?HH(ωPWM,p1,p2,p3)/2=F且F=h(ts,p1,p2,p3)的“標準”。當然，我們還想找到對于給定的F值能夠提供最小ts和ωPWM的濾波器。

讓我們首先看一下PWM的具體情況，其值為T=28/1MHz=0.000256，其中ωPWM=2π/T=24543。一個明顯的起點是具有等值電阻器和電容器的濾波器。對于圖1電路，頻率響應傳遞函數為：

將每個R設置為1Ω，將每個C設置為1F，就可以用多項式求根例程確定滿足H()=F=2-8-1的三個極點和ω值：-3.247、-1.555、-0.1981和9.0699。為了在頻率ωPWM下獲得相同的衰減，可以將極點相乘，將電阻器除以FSF=ωPWM/ω。當然，至少可以說，這些電阻器和1F電容器使用起來不方便。所以，我們可以選擇一個阻抗比例因子ZSF，比如10-8來乘以電容，除以電阻。結果為37.0k(選擇最接近的標準值)和10n。(運用ZSF對濾波器的響應沒有影響。)在已知1Ω/1F濾波器的極點并要求h()=F的情況下，求根例程也為我們提供了ts=32.5s的值。將ts除以FSF，可保持相同的F并使得ts的值等于12.01ms。

當然，沒有理由期望相同的R和C所產生的濾波器，在給定的F值下能產生盡可能低的ts和ωPWM。我們應該如何尋找更好的濾波器？我們使用了蒙特卡洛。從上面極點的FSF縮放值開始，選擇一組更好的新極點的依據是，它能夠減少H( , , ,ωPWM)或h(,?,?,ts)的值而不增加另一個的值。我們選擇多組隨機極點，運行了一個1000萬個樣本的蒙特卡洛。結果得到了-2290.7、-2238.9和-2218.6處的極點，0.001938

圖2：ASE顯示了各種濾波器類型的滿量程PWM轉換與時間的關系。水平線對應于2-9的ASE。

水平虛線處的值為F=2-9。其他每條曲線所對應的濾波器的ASE，其H( , , ,ωPWM)也為F。曲線在濾波器的ASE降至F時與水平線相交。表現最差的是紅色曲線，其在K=1的條件下R和C相等。K=√10和10的黃線和綠線更好并且看起來實用，而藍色K=100濾波器需要K2=10000的阻抗比。紫色K=無窮大的曲線無法實現，對吧？

圖1網絡的濾波器在驅動阻性負載時會降低精度。最簡單的解決方案是在電壓跟隨器配置中使用運算放大器緩沖它們的輸出。使用此運算放大器還有另一大優勢：圖3中的濾波器配置擴展了可實現的濾波器類型的數量，這樣就不僅能包括等極點版本，還能包括性能更好的濾波器——通過反復試驗確定的復極點濾波器，其從貝塞爾濾波器的極點開始?！案谩钡臉O點是：-0.84668、-0.786203+j0.725726和-0.786203-j0.725726?？梢詫υ摓V波器的R值縮放，使其在ωPWM處的衰減H( , , , )為F。黑色曲線反映了縮放濾波器的性能。為什么會有奇怪的形狀？復極點所產生的時域響應包含阻尼振蕩。它會在穩定時反復通過零。圖中所示的是響應的絕對值。

圖3：可以實現實極點(部分或全部相同)和復極點的濾波器結構。對于顯示的元器件值，表1的復極點部分的每個給定行中的參數值都能得到滿足(見正文)。

您可能認為這些圖顯示了復極點濾波器的先天優勢。但它們僅代表F=2-9時能滿足“標準”的情況。F的其他值又如何呢？其他值為ωPWM的PWM又如何呢？下面就是答案。PWM具有整數位數，因此僅當N是一組正整數時，考慮F=2-N的值才有意義。對于每個2-N和每個正在考慮的濾波器，我們可以確定出滿足“標準”的ω和ts值。知道ω后，就可以對任何所需PWM的ωPWM計算出FSF，而且還可將該FSF用于確定縮放后的ts和濾波器R的值。在具有FSF縮放極點的濾波器中，ωscaled=FSF?ω，ts-scaled=ts/FSF。因此，無論PWM頻率ωPWM為何，ωPWM與FSF縮放的ts的乘積都將保持不變。這個乘積的值越小越好。我們可以對復數同步濾波器的這些乘積進行比較，以確定哪個乘積是每個F值的更好選擇。請參閱表1。

表1：對于各種F=2-N值，復數濾波器和同步濾波器的ω、ts和ω?ts值。

比較表明，對于每個F，復數濾波器具有更小值的乘積，因此是更好的選擇。我們現在可以概括出濾波器設計過程。

實現解決方案

可以用一個具體的例子說明一般問題的解決方案。假設有一個PWM，其中B=8且T=2B/1MHz=0.000256。我們想要獲得F=2-9的紋波水平和ASE。圖3顯示了表1中復數濾波器的濾波器元件值。對于N=9及其F值的情況，濾波器給出的頻率為ω=9.1868。但我們希望衰減的頻率為ωPWM=2π/T。我們需要將濾波器的電阻器和表格的ts=6.3876除以FSF=ωPCM/ω=2671.7。這樣就得到了R1=66.527kΩ、R2=45.445kΩ和R3=178.95kΩ(可以使用最接近的標準值)以及ts=2.39ms。也可以選擇通過恒定ZSF來縮放這些電容器和電阻器，將電阻器乘以該值并將電容器除以該值。ZSF操作對濾波器響應沒有影響。

應該注意的是，對于N=6或更小的值，同步濾波器具有比復數濾波器更小、更好的ω值，并且對于更大的N值，ω的值幾乎相同。盡管如此，復數濾波器仍然是更好的選擇——可以使用表中各對ω值之間的數值，將其代入到FSF分母中進行計算。增大ω會使紋波衰減和穩定時間增加?？偰苷业揭粋€FSF值，使得ω和ts的縮放濾波器值比其他濾波器所提供的值要小。

為任意頻率的PWM設計濾波器

本文已經提出了一種使用運算放大器和三對電阻器和電容器來設計用于任意頻率和位數的PWM的濾波器的方法。該濾波器可將ASE和峰值紋波限制為F，即用戶所選擇的2的負整數次冪。還研究了極點間存在各種相互關系的濾波器。所選的復極點濾波器在所考慮的濾波器中具有最小的頻率和穩定時間乘積。使用表1和圖3，對于任何頻率的PWM，可以將濾波器元件縮放到所需的F值?？梢詫Ρ碇兴谐龅姆€定時間運用相同的縮放比例，以計算縮放后的穩定時間。

如果您更喜歡無運算放大器的解決方案，可能需要考慮圖1電路的K=10版本。在R1=4.3k和C1=100n的情況下，對于F=2-9，在圖2中所看到的綠色曲線的ts約為4.6ms。對于相同的F，該濾波器的ω為15787rad/s。本文沒有提供此濾波器的表格，但可以在將不同的FSF運用于濾波器電阻器時在電路仿真器中測試結果。

致謝

感謝David Lundquist審閱本文并為本文提供寶貴建議。如有任何未被引起注意的錯誤，當然完全是由我自己所造成的。

Christopher Paul在多個通信行業的工程職位上工作了40多年。

作者：Christopher Paul， 參考原文：Optimizing a simple analog filter for any PWM，由Franklin Zhao編譯。 審核編輯：黃飛

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