非線性電路的混沌現象

1、引言

混沌理論（ChaosTheory）是架起確定論和概率論兩大理論體系之間的橋梁，與相對論、量子力學一起被稱為20世紀物理學的三大科學革命?；煦缪芯孔钕绕鹪从?963年洛倫茲（E.Lorenz）研究天氣預報時用到的三個動力學方程，后來又從數學和實驗上得到證實?；煦鐏碜苑蔷€性，是非線性系統中存在的一種普遍現象。無論是復雜系統，如氣象系統、太陽系，還是簡單系統，如鐘擺、滴水龍頭等，皆因存在著內在隨機性而出現類似無軌、但實際是非周期有序運動，即混沌現象。近年來，混沌現象及其應用已成為通訊工程、電子工程、生物工程、經濟學等領域中的一個研究熱點。由于電學量（如電壓、電流）易于觀察和顯示，因此非線性電路逐漸成為混沌及混沌同步應用的重要途徑，其中最典型的電路是美國加州大學伯克利分校的蔡少棠教授1985年提出的著名的蔡氏電路（Chua’sCircuit）。蔡氏電路是能產生混沌行為的最簡單的自治電路，是至今所知唯一的混沌實際物理系統，已被希爾尼柯夫定理嚴格證明存在混沌現象。就實驗而言，可用示波器觀察到電路混沌產生的全過程，并能得到雙渦卷混沌吸引子，有興趣的讀者不妨親自搭試電路，實際觀測一番。

2、蔡氏電路

圖1就是討論非線性電路系統的一種簡單而又經典的電路———蔡氏電路，它是由兩個線性電容C1和C2、一個線性電感L、一個可變線性電阻R0和一個非線性電阻R構成。電感L和電容C2并聯構成振蕩電路，線性電阻R0的作用是分相。非線性電阻R的伏安特性iR=g（uR），是一個分段線性的負電阻，如圖2所示，整體呈現對稱但非線性。負阻是出現混沌的原因，其特性至少可用三種方法來實現：兩個晶體管和兩個二極管;一個運算放大器和兩個二極管;一個雙運算放大器和六個線性電阻組合。

圖1電路中有3個狀態變量uC1，uC2和uL，電路的非線性動力學狀態方程為：

式中：uC1，uC2和iL分別表示C1、C2兩端的電壓，L中的電流。g（uR）是負阻曲線。蔡氏電路是能產生混沌行為的最小、最簡單三階（3個狀態變量）自治（方程右端不顯含時間）電路。

3、電路混沌的實驗研究

混沌實驗電路如圖3所示。這里將蔡氏電路中的非線性電阻R的特性通過一個雙運算放大器和6個線性電阻組合來實現，具體參數選取如下：R1=5.1kΩ，R2=3.3kΩ，R3=1kΩ，R4=R5=100Ω，R6=5.6kΩ。每次取兩個狀態變量在示波器上觀察李薩如圖形。

3.1、改變電阻R0，其它參數保持不變。

在合適選取C1、C2和L以后，如取C1=4700pF，C2=0.1μF，L=10mH，調節R0。當R0由3kΩ逐漸減小時，在示波器上看到，例如由uC1-uC2呈現的變化規圖3非線性電路混沌實驗電路圖律。由1個點（穩態平衡點）→1個圈（Hopf分岔，出現單周期極限環）→2個圈（倍周期分岔，出現2周期極限環）→22圈（4周期極限環）→……→2∞個圈（單渦卷混沌吸引子）。實驗中一般能觀察到周期8，由于變化速度太快很難看到大于8的周期。周期為無窮大也就是沒有周期，這就是混沌。在上述參數值下，R0=1.5kΩ左右時電路可進入混沌狀態。繼續減小R0，還會出現雙渦卷混沌吸引子，只見環形曲線在兩個外渦卷的吸引子之間不斷填充與跳躍，這就是混沌研究文獻中所描述的“蝴蝶”圖像，也是一種奇異吸引子，它的特點是整體上的穩定性和局部上的不穩定性同時存在。圖4是一個單渦卷混沌吸引子，圖5、圖6都是雙渦卷混沌吸引子。

利用這個電路，還可以觀察到周期性窗口，仔細調節R0，有時原先的混沌吸引子不是倍周期變化，卻突然出現了一個三周期圖像，再微調R0，又出現混沌吸引子，這一現象稱為出現了周期性窗口。