Apollo代碼學習—MPC與LQR比較

LQR （線性二次調解器）理論是現代控制理論中發展最早也最為成熟的一種狀態空間設計法。特別可貴的是，LQR可得到狀態線性反饋的最優控制規律，易于構成閉環最優控制。

LQR 最優設計是指設計出的狀態反饋控制器 K 要使二次型目標函數 J 取最小值，而 K 由權矩陣 Q 與 R 唯一決定，故此 Q、R 的選擇尤為重要。

MPC（模型預測控制）是一種先進的過程控制方法，在滿足一定約束條件的前提下，被用來實現過程控制，它的實現依賴于過程的動態模型（通常為線性模型）。

在控制時域（一段有限時間）內，它主要針對當前時刻進行優化，但也考慮未來時刻，求取當前時刻的最優控制解，然后反復優化，從而實現整個時域的優化求解。

本文由社區開發者——呂伊鵬撰寫，對MPC與LQR進行了較為詳細的比較，希望這篇文給感興趣的同學帶來更多幫助。

Apollo中用到了PID、MPC和LQR三種控制器，其中，MPC和LQR控制器在狀態方程的形式、狀態變量的形式、目標函數的形式等有諸多相似之處，因此結合自己目前了解到的信息，將兩者進行一定的比較。

MPC(Model Predictive Control，模型預測控制)和LQR(Linear–Quadratic Regulator，線性二次調解器) 在狀態方程、控制實現等方面，有很多相似之處，但也有很多不同之處，如工作時域、最優解等，基于各自的理論基礎，從研究對象、狀態方程、目標函數、求解方法等方面，對MPC和LQR做簡要對比分析。

本文主要參考內容：

【1】龔建偉,姜巖,徐威.無人駕駛車輛模型預測控制[M].北京理工大學出版社, 2014.

【2】Model predictive control-Wikipedia.

【3】Linear–quadratic regulator-Wikipedia.

【4】Inverted Pendulum: State-Space Methods for Controller Design.

【5】王金城. 現代控制理論[M]. 化學工業出版社, 2007。

LQR的研究對象是現代控制理論中以狀態空間方程形式給出的線性系統。MPC的研究對象可以是線性系統，也可以是非線性系統，只不過為了某些需求，如時效性，計算的便捷，操控性等，一般會將非線性系統轉換為線性系統進行計算。非線性系統的線性化可參考上一篇文章。

Apollo中，LQR和MPC控制器都選用的單車動力學模型作為研究對象，單車動力學模型為非線性系統，但LQR和MPC控制器的目的是為了求最優控制解，在具體的優化求解時，均通過線性化方法將狀態方程轉化為線性方程進行求解，所以，可以說Apollo中LQR和MPC控制器的研究對象均為線性系統。

LQR的狀態方程多以微分方程的形式給出，如：

是一個連續線性系統，在計算過程中需要轉換為如公式3的離散線性系統。

MPC的狀態方程可以為線性系統，可以為非線性系統，非線性系統形如下：

線性系統如公式3所示：

但LQR和MPC在計算求解時基本都是基于離散線性方程計算的。公式1可以很方便的轉化為公式3的形式。

按照維基百科的說法：

LQR在一個固定的時域上求解，且一個時域內只有一個最優解，而MPC在一個逐漸消減的時域內(in a receding time window)求解最優解，且最優解經常更新。

可以結合MPC的滾動優化，以及圖1進行理解：

圖1 MPC和LQR的工作時域

針對同一工作時域[t,t+N]，LQR在該時域中，有唯一最優控制解u?(t)，而MPC僅在t時刻有最優解u?(t)，但它會計算出一個控制序列U(t) ，并僅將序列的第一個值u?(t)作為控制量輸出給控制系統，然后在下一采樣時間結合車輛當前狀況求取下一個最優控制解u?(t+1)，這就是MPC所謂的滾動優化。

這么做的目的是為了使控制效果在一定時間內可期，并且能根據控制效果盡早調整控制變量，使實際狀態更切合期望狀態。

此外，LQR的工作時域可以拓展到無限大，即可以求取無限時域的最優控制解。而MPC只針對有限時域。

優化求解問題一般離不開目標函數的設計。

LQR的目標函數的一般形式為：

其中，終端狀態，

正定的終端加權矩陣，x為狀態變量，多為各種誤差，u為控制變量，Q為半正定的狀態加權矩陣，R為正定的控制加權矩陣，實際應用中，Q、R多為對角矩陣。

MPC的目標函數的一般形式為：

其中，

從形式上可以看出，LQR的目標函數為積分形式，MPC的目標函數為求和形式，但其實都是對代價的累計。

兩者第一部分均為終端代價函數，當系統對終端狀態要求極嚴的情況下才添加，一般情況下可省略。

跟蹤代價，表示跟蹤過程中誤差的大小，控制代價，表示對控制的約束或要求等。

正如工作時域所述，針對同一工作時域，LQR有唯一最優控制解，也就是在該控制周期內，LQR只進行一次計算。

而MPC滾動優化的思想，使其給出該時域內的一組控制序列對應不同的采樣時刻（采樣周期和控制周期不一定相同），但是只將該序列的第一個值輸出給被控系統，作為該時刻的最優控制解。

因此，對于工作時域[t,t+N]，LQR只有唯一解，對于線性MPC，本質是凸優化問題，只有唯一解；但非線性MPC，可能會有N個local optimal。

最優控制解的求取多基于目標函數進行，取線性約束下的目標函數的極值為最優控制解。對于系統為線性，目標函數為狀態變量和控制變量的二次型函數的線性二次性問題，最優解具有統一的解析表達式。

Apollo中的MPC將優化問題轉化為二次規劃問題，利用二次規劃求解器進行求解。橫向控制中用的是LQR調節器，它通過假設控制量u(t)不受約束，利用變分法求解。

此外，LQR對整個時域進行優化求解，且求解過程中假設控制量不受約束，但是實際情況下，控制量是有約束的。

而MPC通常在比整個時域更小的時間窗口中解決優化問題，因此可能獲得次優解，且對線性不作任何假設，它能夠處理硬約束以及非線性系統偏離其線性化工作點的遷移，這兩者都是MPC的缺點。