如何用COMSOL變形網格接口模擬平移運動？

COMSOL Multiphysics 包含兩個可用于手動定義有限元網格變形的接口，變形幾何接口和移動網格接口。本篇文章中，我們將介紹應何時使用這些接口，以及如何通過它們來高效模擬平移運動。

使用變形網格的優勢

假設我們希望通過 COMSOL Multiphysics 模型來描述一個在較大域內移動的固體對象，域內充滿諸如空氣等的流體，甚至可以是真空環境。首先假定對象隨時間的移動路徑已知，我們不必擔心需要使用哪個物理場求解模型，但將假定希望求解移動域及周圍域中的一些場。當然，我們還需要在這兩個區域使用有限元網格，但網格將發生改變。

在較大域中沿已知路徑自由移動的固體對象。

針對這種情景，我們有兩個選項：變形幾何接口和移動網格接口。這兩個接口的作用完全相同，但適合不同的情況。

當我們希望明確定義材料在域中每點處的應變時，應使用移動網格接口。它特別適用于模擬固體域的形變可以完全確定的情況。體積的變化說明材料被拉伸或壓縮，但總質量保持不變。

當只需定義域邊界處的形狀時，可以使用變形幾何接口。它最適合模擬流體域。域總體積的變化說明了模型質量的增加或減少。

這兩個接口的實際使用完全相同，但對每類物理場的處理不同，所以您應根據求解的物理場進行選擇。雖然我們不會在本篇文章中介紹如何在這兩個接口中進行選擇，但您可以從閱讀COMSOL Multiphysics Reference Manual中的“變形網格基礎”和“處理傳熱中的框架”章節開始。

另外請注意，我們無法耦合固體力學接口與移動網格接口。固體力學接口主要通過動量守恒計算域的變形。其他物理場，比如固體傳熱，則支持在這一變形中求解。另一方面，如果您希望研究由于移除材料造成的應力變化，或希望能在不對整個幾何進行參數化的同時對某個維度進行參數化掃描，如“對導入 CAD 文件中的維度執行參數化”文章中的介紹，結合變形幾何接口與固體力學接口會是較合理的做法。

我們將在這里介紹網格移動的基本概念，分析一個固體對象在穩態邊界包圍的較大域內的移動，如上圖所示。對象隨時間的運動軌跡已知。我們將分析如何針對這一問題設定變形幾何接口。但我們首先需要快速查看 COMSOL Multiphysics 中將求解的方程組。

正在求解哪些方程組？

對象在域內的運動問題其實是一個邊界值問題。所有邊界的位移已知，并能用于定義網格在兩個域內的變形。

針對網格在每個域內的變形，我們有四種計算方法：Laplace、Winslow、超彈性和 Yeoh 平滑類型。這里，我們將僅分析最簡單的情況——Laplace平滑，并將說明為何這種方法能解決大部分問題。Laplace 平滑方法在域內求解了以下偏微分方程：

其中，小寫的x、y及z是網格的變形位置，大寫的指未變形前的初始位置。

由于所有邊界的位移已知，所以這是一個適定問題，而且從理論上講，方程的解將給出網格的變形。但在實際操作中，我們會碰到一些計算得到的變形場并沒有多大用處的情況。如下圖所示，其中顯示了原始域中的原始網格，以及當固體沿對角線運動時的變形網格。請仔細觀察我們突出顯示的區域，您將發現移動固體邊處的網格發生了嚴重變形，特別是在尖角處。變形超過某個程度后，嚴重變形會使模型無法再求解上述方程。

原始及變形網格，突出了網格變得嚴重扭曲的區域。

在上圖中，可以通過邊界完整描述及指定藍色域內的變形。另一方面，紅色域內的變形則需要求解上述偏微分方程，這會造成一些困難。我們所需要的是一種能模擬更大的變形、但同時能最小化網格變形的方法。

如何幫助網格變形？

如果您有相關數學背景，就會發現上述控制方程實際就是 Laplace 方程，您甚至還可能知道它在一些簡單情況下的解。其中較簡單的一個情況是，Laplace 方程在包含狄氏邊界條件的笛卡爾坐標域中的解與每條邊界呈高度線性，且沿周長連續。在此例中，域內的解等于四個角處邊界條件間的雙線性內插。事實證明，您可以使用雙線性內插求出含直邊的所有凸四邊形域中 Laplace 方程的解。

我們首先要將復雜的變形域細分為多個含直邊的凸四邊形域。下圖顯示了其中一種可能的細分方法。

對域進行細分，變形區域（紅色）將由凸四邊形域構成。

變形域被分為多個凸四邊形域。事實上，我們也可以將它分為三角形域，因為這是一類特殊的四邊形，兩個端點的位置重合，也就是所謂的退化域。如果無法將域分為四邊形，將只需將其分為多個三角形。

既然我們引入了新的邊界，就需要完整定義所有邊界，以便分析域內的變形。變形域的相鄰邊界已知，且邊界外不存在變形。但與這些邊界相連的部分呢？我們畫了一條直線來連接兩個變形已知的點，因此可以直接沿這些線應用線性內插來指定此處的變形。

如何輕松計算這一線性內插呢？也許您已經猜到，我們只需簡單求解這些連線處的 Laplace 方程！

常見做法是在模型中增加系數型邊界偏微分方程接口，求解兩個用于描述這四條邊界中每條位移的變量。該接口支持您指定偏微分方程的系數，以便沿一條邊界設定 Laplace 方程。邊界任一端點處的位移已知，因此我們就有了一個針對沿邊界位移的邊界值問題，該問題經完整定義并支持求解。

新的助應變量完整定義了變形域。結果如下方所示，并表明能夠支持更大的網格變形。當然，我們在移動對象時應避免它與邊界發生碰撞，因為這將造成域拓撲的變化；同樣，單元面積不能為零。但我們可以將變形域設得極為細小。

變形幾何中沿內部邊界增加助應變量后，未變形和變形網格。

您可能認為上方網格中的變形程度已經很高，但請記住所有變形單元仍包含直邊，這一點非常好。在實際中，您經常會發現即使在高度變形的單元中也能得到良好的結果。

但我們可以觀察到，移動域內的某個區域會包含一些發生了高度變形的極小網格，另一個區域則會包含經拉伸的較大網格。因此最后一步是使用自動重新剖分網格，它會根據網格的質量度量停止瞬態仿真，然后針對當前變形重新進行網格剖分。

執行自動重新剖分網格前后的變形幾何。

從上圖中可以看到，自動重新剖分網格會在擠壓區域生成較少的單元，并增加拉伸區域的單元數，從而保持單元分布均勻。網格中總的單元數基本保持不變。但重新剖分會增加計算負擔，因此我們只應在單元變形會嚴重影響結果的精度時使用這一特征。

如果存在未知變形呢？

之前的分析適用于固體對象在流體域中的移動已知的情況。但如果固體中存在未知變形呢？比如施加了在求解時計算得到的某些載荷？流固耦合分析就是這樣一個經典示例，其中固體會在周圍流體流動的影響下發生變形。

針對這一情況，我們可以使用積分組件耦合算子，它支持在整個模型空間使用變形固體結構中某一點處的變形；隨即可以使用一個或更多點的變形來控制網格的變形。微泵機理教程模型較好地展示了這一技巧的使用。下圖是對此技巧的圖形化顯示。

當實際變形未知時，針對某個點的積分組件耦合可用于定義控制網格變形的輔助線。

從上圖中可以觀察到，模擬域并沒有被分為凸四邊形，且輔助線可以沿模擬域的上邊界滑動。因此這種模擬方法并沒有那么嚴格，但仍允許網格發生較大變形。很顯然，所有情況并非都只有唯一的最優解決方案。您可以在具體案例中嘗試結合幾種技巧。

小結

我們介紹了如何有效使用變形網格接口，這可以通過將變形域分解為四邊形域并沿邊界引入助因變量實現。這種方法簡化了 COMSOL Multiphysics 軟件對該類問題的求解。當存在嚴重變形時，可以通過自動重新剖分網格來幫助求解文章介紹的方法同樣可以用于三維幾何。模擬變形網格教程同時使用二維及三維示例演示了這一方法的使用。

至此，我們僅討論了對象在相對簡單域內的平移，我們可以輕松在其中設定變形域。當很難對幾何進行細分或對象會發生旋轉時，我們將需要不同的方法。