復立葉變換你知道是什么嗎？

下面兩道題關于使用復利葉變換的， 這應該是很常見的嵌入式問題：A)系統用 adc (小于 16-bit) 采樣 50Hz 交流電流電壓， 采樣頻率800hz, 試求出電流電壓幅值以及功率和功率因數。B)上面的50hz 電壓中， 混入了另一個 55hz 的電壓， 求出這兩個電壓的幅值。這兩道題使用 16-bit, 32-bit 的整數運算， 不使用浮點運算， 可以在 mcu 上實現。C)完成一個 wav 聲音文件的變速不變調的程序。

（1）復數的基礎知識

在講解 fourier transform 前， 大家必須知道一點基本的復數知識。在復平面上的一個點 P (x, y) 用復數表示為: P = x + i y用極坐標表示為： P = r * e^(i a)這里,r = sqrt(x*x + y*) 是點 (x, y) 到原點的距離， a = arctan2(x, y) 是角度, e 是自然常數。這里引出了一個非常重要的表達式： e^(i a)= cos(a) + i sin(a)這個表達式，是利用復數完成角度變換和三角函數變換的利器。例如，把點 P 旋轉 b 角度，那么新點(x1, y1) 的角度為 a+b, 距離仍為 r. P1 = x1 + i y1 = r * e^(i (a+b)) = r*e^(i a) * e^(i b) = (x + i y) * (cos(b)+i sin(b)) = (x * cos(b) - y * sin(b)) + i ( y * cos(b) + x * sin(b)) (2)傅里葉變換的基礎知識傅里葉變換是一個積分變換， 公式就不提供了， 有興趣的同學可以直接訪問下面的連接， 以獲得更詳盡的解釋：http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2(3) 離散傅里葉變換(DFT)http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2離散傅里葉變換的公式： X(k)= ∑ x(n) * e^(i -2*PI* n/N * k) / N這里 X(k) 是第 k 次諧波的復數；N 為周期采樣點數；x(n)為輸入，n從0 到N-1； 用偽代碼更直觀地說明： void CalculateHarmonic(Complex* X, int harmonic) { for (int i=0; iReal= x(i) * cos( 2*PI* i/N * harmonic) / N; X->Image = x(i) * sin(-2*PI* i/N * harmonic) / N; } }可以看到，離散傅里葉變換基本運算其實很簡單， 沒有那么復雜。只要有了 N 個輸入，比如說通過AD 采樣了 N 個數據后，可以輕易的計算出各個諧波，雖然計算量大了些。下面要做的就是減少計算量，這可以用兩種方法， 一種當然就是熟知的 FFT, 還有一種就是遞推。(3)遞推離散傅里葉 (Recursive DFT)傅里葉變換是一個積分變換，積分當然可以使用迭代遞推來減少運算，尤其是周期性的函數。只要把最后一個數據仍出去，保持其他 N-1 個數據不變，加入一個新的數據就可以了。為了理解這一點，先考慮一下移動平均濾波算法： Y(k-1) = (x(k-1) + x(k-2) + … + x(k-N)) /N上面的這個公式可以寫成迭代也就是遞推的形式： Y(k) = Y(k-1) + (x(k) – x(k-N)) /N同理，由于sin, cosin函數的周期性，dft 可以由多項式乘法和的形式變換成迭代遞推的形式： Y(k) = Y(k-1) + x(k) * e^(i -2*PI* k /N * harmonic) / N - x(k - N) * e^(i -2*PI* (k–N) /N * harmonic) / N = Y(k-1) + (x(k) - x(k- N)) * e^(i -2*PI* k /N * harmonic) / NC 代碼： x(i) = GetFromADC(); X->Real+=(x(i) – x(i-N)) * cos( 2*PI* i/N * harmonic) /N; X->Image +=(x(i) – x(i-N)) * sin(-2*PI* i/N * harmonic) /N;由于 cos, sin 是周期函數，所以 cos(2*PI* (i * harmonic) / N) 與cos(2*PI* (i * harmonic % N) / N) 是一樣的，(i * harmonic % N) 的取值范圍：0 to N-1.

總結一下：傅里葉變換可以很深奧， 也可以很淺顯。對于離散的傅里葉變換的公式， 只要認真的看看很容易看明白， 更何況還有代碼說明。通過理解 dft 如何計算出某一個諧波， 就可以進一步計算出所有諧波， 再想象一下， 某一個算法， 可以快速的計算出所有的諧波， 這樣， 就可以很容易的理解 fft.

(5) 問題 A 的解答在上面的代碼CalculateHarmonic(Complex* X, int harmonic)中可以看出dft 的各次諧波計算是獨立的， 不依賴其它次諧波。而且，問題 A 不需要計算2次(100hz)，3次(150hz)等等諧波，這是 dft 的優點之一。首先，定義兩個復數的結構：

typedef short int16;

typedef int int32;

typedef struct SComplex

{

int16 R;

int16 I;

} Complex;

typedef struct SComplex32

{

int32 R;

int32 I;

} Complex32;

接著， 定義兩個常數以及電壓電流的結構：

#define N 16 //每周期采樣點數

#define LOG2_N 4 // log2(N)

struct UI {

ComplexU; //電壓的結果

ComplexI; //電流的結果

int16Voltage[N]; //先前的 N 個電壓

int16Current[N]; //先前的 N 個電流

Complex32 UAcc;//電壓的累加器

Complex32 IAcc; //電流的累加器

int Index;//迭代索引計數器， 8-BIT MCU 可以為 char, 如果 N < 256.

ComplexW[N];//N 點的 cos, sin 系數

} ui;

初始化，cos, sin 系數數組應該事先計算好：

void UI_Init()

{

for (int i=0; i

ui.W[i].R = (int16) (::cos( 2*3.1415927*i/N) * (1<<14) + 0.5); //應離線計算?。?！

ui.W[i].I = (int16) (::sin(-2*3.1415927*i/N) * (1<<14) + 0.5);

ui.Voltage[i] = 0;

ui.Current[i] = 0;

}

ui.UAcc.R = 0; ui.UAcc.I = 0;

ui.IAcc.R = 0; ui.IAcc.I = 0;

ui.Index = 0;

}

下面的代碼不斷遞推， 可以求出電壓和電流的復數：

void UI_Calculate(int16 voltage, int16 current)

{

int16 d;

d = voltage - ui.Voltage[ui.Index];

ui.Voltage[ui.Index] = voltage;

ui.UAcc.R += (d * ui.W[ui.Index].R) >> (13 + LOG2_N - 16);

ui.UAcc.I += (d * ui.W[ui.Index].I) >> (13 + LOG2_N - 16);

ui.U.R = (int16) (ui.UAcc.R >> 16);

ui.U.I = (int16) (ui.UAcc.I >> 16);

d = current - ui.Current[ui.Index];

ui.Current[ui.Index] = current;

ui.IAcc.R += (d * ui.W[ui.Index].R) >> (13 + LOG2_N - 16);

ui.IAcc.I += (d * ui.W[ui.Index].I) >> (13 + LOG2_N - 16);

ui.I.R = (int16) (ui.IAcc.R >> 16);

ui.I.I = (int16) (ui.IAcc.I >> 16);

ui.Index = (ui.Index + 1) & (N-1);

}

上面的計算dft計算使用的是 16-bit, 32-bit 的定點運算，這里需要把電壓和電流單位化。比如系統最大電壓幅值為 Vmax = 400V，最大電流幅值 Imax = 20A, 在數字系統中統一歸一化:Q15 = 2^15 = 32768. 即 Vmax，Imax在數字系統對應Q15 = 32768. 因此，演示主程序中的： 8000 ---〉8000/Q15 * Vmax=97.66V 4000 ---〉4000/Q15 * Imax= 2.441A至于功率，很簡單, 用電壓乘以電流的軛(用 j 來代替復數i, 以免混淆)： P + jQ = U*I’ = (ui.U.R + j ui.U.I) * (ui.I.R – j ui.I.I)P是有功功率， Q是無功功率；功率因數為：cos(theta) = P / sqrt(P*P +Q*Q)

visual c++下的演示主程序 ：

#include "stdafx.h"

#include "Math.h"

#include "stdio.h"

#include "UI.h"

#define Magnitude(c) ((int) sqrtf(c.R*c.R + c.I*c.I))

#define PI 3.14159265f

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

int16 voltage, current;

Complex PQ;

UI_Init();

for (int i=0; i<1000; i++) {

voltage = (int16) (::sin(2*PI*i/N)*8000); //模擬采樣電壓

current = (int16) (::sin(2*PI*i/N + PI/3)* 4000);//模擬采樣電流

UI_Calculate(voltage, current);

}

PQ.R = (ui.U.R * ui.I.R + ui.U.I * ui.I.I) >> 15;

PQ.I = (ui.U.I * ui.I.R - ui.U.R * ui.I.I) >> 15;

printf("Voltage: %d\n",Magnitude(ui.U));

printf("Cuurent: %d\n",Magnitude(ui.I));

printf("Power Factor: %d\n", PQ.R * 1000 / Magnitude(PQ));

::getchar();

return 0;

}

結果

Voltage: 8000Cuurent: 3999Power Factor: 500

6）問題B的解答現在大家已經知道了，DFT可以單獨的計算各個諧波。這道題，同樣可以用DFT來做，當然也可以用FFT來做。50Hz與55hz相差5Hz,所以必須采用5Hz的分辨率。采樣頻率為800Hz,周期T800 = 1.25ms;5Hz周期T5 = 200 ms.因此，5hz數據窗口的長度為N = T5 / T800 = 160，這樣50Hz, 55Hz就分別是10，11次諧波。定義常數：

#define N 160

#define LOG2_N 8

計算cos, sin系數。注意(1<<(14 + LOG2_N)) / N　的作用

for (int i=0; i

ui.W[i].R = (int16) (::cos( 2*3.1415927*i/N) * (1<<(14 + LOG2_N)) / N + 0.5);

ui.W[i].I = (int16) (::sin(-2*3.1415927*i/N) * (1<<(14 + LOG2_N)) / N + 0.5);

ui.Voltage[i] = 0;

}

計算：

void UI_Calculate(int16 voltage)

{

int16 d;

int i;

d = voltage - ui.Voltage[ui.Index];

ui.Voltage[ui.Index] = voltage;

i = (ui.Index * 10) % N;

ui.U10_Acc.R += (d * ui.W[i].R) >> (13 + LOG2_N - 16);

ui.U10_Acc.I += (d * ui.W[i].I) >> (13 + LOG2_N - 16);

ui.U10.R = (int16) (ui.U10_Acc.R >> 16);

ui.U10.I = (int16) (ui.U10_Acc.I >> 16);

i = (ui.Index * 11) % N;

ui.U11_Acc.R += (d * ui.W[i].R) >> (13 + LOG2_N - 16);

ui.U11_Acc.I += (d * ui.W[i].I) >> (13 + LOG2_N - 16);

ui.U11.R = (int16) (ui.U11_Acc.R >> 16);

ui.U11.I = (int16) (ui.U11_Acc.I >> 16);

ui.Index = (ui.Index + 1) % N;

}

注意(13 + LOG2_N - 16)的作用。

演示主程序：

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

UI_Init();

float Hz50 = 2 * PI * 50 / 800;

float Hz55 = 2 * PI * 55 / 800;

for (int i=0; i<1000; i++) {

UI_Calculate((int16) (::sin(Hz50*i)*8000 + ::sin(Hz55*i)* 4000));

}

printf("50Hz: %d\n",Magnitude(ui.U10));

printf("55Hz: %d\n",Magnitude(ui.U11));

::getchar();

return 0;

}

結果：50Hz: 800055Hz: 4000

上面的例子有一個問題就是Ｎ＝１６０，這對于?。颍幔砣萘康模恚悖鮼碚f，不太合適。我們可以做一些改動。一是改變采樣頻率，二是保持采樣頻率不變，跳過幾個點，變相的改變采樣頻率。這里我們可以每采樣５次，計算一次，這樣Ｎ＝１６０／５＝３２．#define N 32#define LOG2_N 5for (int i=0; i<1000; i++) {??　　if ((i % 5) == 0)?? ?　　　　UI_Calculate((int16) (::sin(Hz50*i)*8000 + ::sin(Hz55*i)* 4000));　}得到了一樣的結果，而數據buffer 為 32， 可以計算出上到 15 次諧波。

介紹完 DFT, 下面輪到FFT. 我現在發現變速不變調不適合作為 FFT 的例子， 因為變速不變調涉及了很多其他的概念， 驗證程序用 matlab 做的， 雖然不長， 但是用了 matlab 里 FFT, IFFT 的命令， 所以沒有典型性。而DFT/FFT與逆變換 IDFT/IFFT 的定點 c/c++ 程序都是我自己做的, 可以更詳細的講解。FFT 容我這兩天設想一個經典的例子， 另外開一個帖子講解。

總結：傅里葉變換的實質是把一個信號通過正交分解（e^(jωt) =cos(ωt)+ j sin(ωt)), 分解成無數的正弦信號， 而這些無數的正弦信號還可以重新被合成為原來的信號。就像白光通過三棱鏡分解成光譜， 再通過三棱鏡可以被還原成白光一樣,傅里葉變換就是那個三棱鏡， 或者說三棱鏡就是一個傅里葉變換。 e^(jωt) =cos(ωt)+ j sin(ωt)可以看做鐘表的指針以的角速度ω旋轉時， 指針在縱橫兩個方向上的投影， 在橫軸上的投影就是sin(ωt). 假設兩個不同時間的鐘表疊放在一起， 你坐在其中的一個秒指針上， 你會發現另一塊表的秒指針是靜止的， 并且在你的指針上的投影是固定的?，F在設想一下很多塊表的秒指針以不同的速率旋轉， 而你所乘坐的秒指針可以控制旋轉速率， 那么你會發現， 總可以使某一個秒指針看上去是靜止的， 即在你的指針上的投影是常數，與速度無關。傅里葉變換出來的是什么? 以離散的傅里葉變換ＤＦＴ／ＦＦＴ來說明，對Ｎ點的數據做傅里葉變換，得到了 N/2 個復數， 這每一個復數實際上代表了一個正弦波, 假設 采樣頻率為 F, 那么基本頻率為 ω0 = 2*PI*F/N這 N/2 個復數： Y[0] = x0 + j y0 ：ω= 0,即 DC. Y[1] = x1 + j y1 = r1* e^(j a1): ω= ω0,代表正弦波r1* sin( ω0 * t+ a1) Y[2] = x2 + j y2 = r2* e^(j a2): ω= 2*ω0,代表正弦波r2* sin(2*ω0 * t+ a2) .... Y[k] = xk + j yk = rk* e^(j ak): ω= k*ω0,代表正弦波rk* sin(k*ω0 * t+ ak) ... Y[N/2 - 1] =所以， 這些復數的意義在于正弦波的代表， 不是一般意義上的復數。把上面的正弦波疊加在一起， 又可以得到原來的波形。

首先， 我貼出的DFT程序都是我自己寫的， 而且有匯編的版本。 大家已經看到了， c 版本完全使用了16-bit 整數乘法， 32-bit 加法以及少量的移位操作，除法（主要是 %，用于非 2的次方的 N) 可以完全避開?？梢栽O定在每次定時中斷里采樣后計算， 由于遞推， 計算量很低（2個16bit乘法， 2個32bit 加法）。 唯一的問題是， 必須使用定點 scale 轉換以避免浮點運算， 這不如直接使用浮點直觀， 對沒有處理經驗的程序員可能是一個挑戰。雖然演示程序為了通用起見用了 PC, 但是dft 算法程序用在 avr, 51等 8-bit mcu 是完完全全沒有問題的。不要再說出單片機不能實現的胡話出來。FFT程序我也有匯編的版本，C/C++ 版本也是采用了16-bit 整數乘法， 32-bit 加法以及少量的移位操作，效率很高， 不過在8-bitmcu 上可能用不上， 因為， 數據窗口點數少了， 用 dft 更好，數據窗口點數多了， 8-bit mcu 上太慢， 不實用。 因此我就不介紹了。最后， 我貼出我用matlab做的變速不變調的算法驗證程序， 作為結束。簡單的講一講原理：下面的程序使用了短時博立葉變換（short time fourier transform),窗口函數為 hamming。1） 短時博立葉變換, 這里的片斷 segment = N/4, 數據被分割為 0 到N-1,N/4 to N+N/4-1, N/2 to N+N/2-1， 依次類推。2） 做 fft, 計算出幅度和相位。3）計算新的幅度和相位。幅度通過插植， 相位得把wt 計入：da(2: (1 + NX/2)) = (2*pi*segment) ./ (NX ./ (1: (NX/2)));4）用新的幅度和相位產生新的復數， 加窗并作 ifft 生成變速后的音頻數據。

SPEED = 2;

[in_rl, fs] = wavread('C:\windows\Media\Windows XP Startup.wav');

in = in_rl(:, 1)';

sizeOfData = length(in);

N = 2048;

segment = N/4;

window = hamming(N)';

X = zeros((1+ N/2), 1 + fix((sizeOfData - N)/segment));

c = 1;

for i = 0: segment: (sizeOfData - N)

fftx = fft(window .* in((i+1): (i+N)));

X(:, c) = fftx(1: (1+N/2))';

c = c + 1;

end;

[Xrows, Xcols] = size(X);

NX = 2 * (Xrows - 1);

Y = zeros(Xrows, round((Xcols - 1) / SPEED));

da = zeros(1, NX/2+1);

da(2: (1 + NX/2)) = (2*pi*segment) ./ (NX ./ (1: (NX/2)));

phase = angle(X(:, 1));

c = 1;

for i = 0: SPEED: (Xcols-2)

X1 = X(:, 1 + floor(i));

X2 = X(:, 2 + floor(i));

df = i - floor(i);

magnitude = (1-df) * abs(X1) + df * (abs(X2));

dangle = angle(X2) - angle(X1);

dangle = dangle - da' - 2 * pi * round(dangle/(2*pi));

Y(:, c) = magnitude .* exp(j * phase);

phase = phase + da' + dangle;

c = c + 1;

end

[Yrows, Ycols] = size(Y);

out = zeros(1, N + (Ycols - 1) * segment );

c = 1;

for i = 0: segment: (segment * (Ycols-1))

Yc = Y(:, c)';

Ynew = [Yc, conj(Yc((N/2): -1: 2))];

out((i+1): (i+N)) = out((i+1)i+N)) + real(ifft(Ynew)) .* window;

c = c + 1;

end;

wavplay(out, fs);