一文帶你秒懂IEEE 754浮點數

一、簡介

1、常見的浮點數表示方式是IEEE 754標準，它規定了浮點數的存儲格式和運算規則，這個標準定義了兩種浮點數表示：單精度和雙精度。

2、任何一個浮點數的二進制數可以寫為：NUM = (-1) ^ S* 2 ^ E * M 。以float32類型舉例：

2.1、S表示符號：S為0時表示一個正數；當S為1時表示一個負數

2.2、E表示階乘、指數：E是一個無符號整數，所以E的取值范圍為（0~ 255）。但是在計數中指數是可以為負的，所以規定在存入E時，在它原本的值上加上中間數（127），在使用時減去中間數（127），這樣E的真正取值范圍就成了（-127~128）。對于E還分為以下三種情況：

（1）E不全為0，不全為1：這時就用正常的計算規則，E的真實值就是E的字面值減去127（中間值)，M的值要加上最前面的省去的1

（2）E全為0：這時指數E等于1-127為真實值，M不再加上舍去的1，而是還原為0.xxxxxxxx小數。這樣為了表示0，和一些很小的整數。

（3）E全為1時分三種浮點數特殊情況：M全為0時，±無窮大（取決于符號位）；M為非全0時，表示NaN。

2.3、M表示有效數字、尾數：規定M的值一定是1 <= M < 2，可以寫成1.xxxxxxx的形式，所以規定M在存儲時舍去第一個1，只存儲小數點之后的數字。這樣做節省了空間，以float類型為例，就可以保存23位小數信息，加上舍去的1就可以用23位來表示24個有效的信息

3、單精度（32位）：符號位（1 bit）、指數位（8 bits）、尾數位（23 bits）

4、雙精度（64位）：符號位（1 bit）、指數位（11 bits）、尾數位（52 bits）

5、存儲格式：以float32的浮點數舉例如下圖

二、十轉二進制

1、以float32浮點數和23.375浮點數舉例

2、整數轉換方式：對2取余

3、小數轉換方式：對小數進行2乘留整再對小數2乘直至為小數部分為0

4、合并整數和小數部分：10111 和小數部分 0.011 得到二進制浮點數 10111.011

5、規范化和指數表示6、最終，將符號位、指數和尾數合并，得到IEEE 754標準的二進制浮點數表示為：

三、二轉十進制

1、以上面的23.375浮點數的轉換結果0 10000011 01110110000000000000000舉例
2、主要是這個公式：NUM = (-1) ^ S * 2 ^ E * M，分三步第一步：(-1) ^ S第二步：2 ^ E第三步：M3、符號位 (-1) ^ S：（-1）^04、指數位 2 ^ E ：將二進制轉十進制為131，然后減去偏移值127，得到5、那么這里就是 2 ^ 46、M：分兩步

1. 先轉換為二進制浮點數，根據E不全為0或1的規則得到：1.01110110000000000000000
2. 再用2的階乘的方式轉換為浮點數，如下：

四、誤差

1、如下代碼展示

2、原因：在計算機中，由于浮點數的表示方式是有限的，有些十進制小數無法精確表示為二進制浮點數。這導致在進行浮點數運算時可能出現舍入誤差，進而導致預期的結果和實際的二進制浮點數表示的結果不完全相等。

3、將0.1轉為二進制

4、這個過程會一直持續下去，因為 0.1 在二進制中是一個無限循環小數。

5、將-0.1轉為二進制

6、首先，-0.1 可以表示為二進制的補碼形式。如果我們考慮一個32位的單精度浮點數，其符號位為1，指數位為127（偏移值），尾數部分為 0.00011001100110011001100...（重復的 1100 模式）。

7、進行加法操作

8、這個結果實際上是一個無限循環的二進制小數。由于計算機內存是有限的，最終只能存儲一個有限位數的二進制小數，因此可能會進行截斷或舍入操作，導致精度損失。

9、在實際計算機系統中，這種舍入誤差可能會導致結果不等于精確的零，因為我們不能精確地表示無限循環小數。這就是為什么在計算機編程中進行浮點數比較時，通常使用一個小的誤差范圍而不是直接比較相等。

10、改進方式