單位脈沖的傅立葉變換是否存在？

在之前的文章中，我們研究了信號x（t）的傅立葉變換的一些特性?？偨Y一下：

考慮到傅里葉變換是可逆的，我們可以寫成：

這個概念如圖1所示。

圖1：傅里葉變換的反演運算

單位脈沖

讓我們設想一個電路，它攜帶的電流在短時間內保持恒定值，然后消失。理想情況下，我們有：

其中持續時間T足夠小。此外，我們假設i0=Q0/T，其中Q0是與電流i0值相關的電荷（圖2）。這個理想的實驗使我們能夠控制電流的持續時間T，同時保留電荷值。因此，通過減小T，我們得到如圖3所示的趨勢。

圖2：方程（3）的電流趨勢

圖3：持續時間T值減小的方程（3）的電流趨勢。出于圖形的原因，我們僅針對起始值突出顯示i0/T

T的逐漸減小在數學上由極限通過運算表示：

這顯然是無稽之談。然而，運算（4）中所涉及的電荷是Q0。事實上，電荷由下式給出：

也就是說，圖2中與T無關的矩形的面積：

因此，“電流”（4）仍然與電荷Q0相關。由于（4）的模糊性，我們使用了引號。然而，結果（6）是顯而易見的，因為“電流”盡管有一個無窮大的峰值，但持續時間卻無窮小，并且我們知道0·∞也是無窮的形式，在這種情況下，它返回的是最終量Q0。用符號表示就是：

其中δ（t）是狄拉克δ函數：

式（6）涉及：

這一特性可概括為如下式子：

其中g（t）是任意正則函數。因此，積分值等于δ函數自變量消失時g（t）所假定的值。由此可見，對于一個平移的δ函數，我們有：

請注意，δ函數的量綱是其參數的倒數。因此，在我們的例子中，它具有時間的倒數（即頻率）的量綱。

根據δ函數，電流（4）可以寫成如下：

這就是所謂的單位脈沖或數學脈沖（圖4）。

我們已經考慮了電流的具體情況，但也可以考慮電壓。這里，單位脈沖可以寫為v（t）=Aδ（t），其中A是一個常數，量綱為V·s。

圖4：單位脈沖的圖形表示

傅里葉變換

任何單位脈沖在t=0處出現奇點都不會嚇到我們，因為脈沖在任何情況下都會在無窮遠處為零，因此我們預計傅里葉積分會收斂。事實上，對于特性（10），我們有：

也就是說，單位脈沖的傅立葉頻譜是平坦的。從物理上講，這意味著單位脈沖可以分解為無數個從?∞到+∞的正弦頻率振蕩。

結論

為了定義單位脈沖，我們從矩形脈沖（3）開始，它在數學上更簡單。從正弦振蕩開始也能得到同樣的結果，正弦振蕩從?T/2處開始并在T/2處抵消。

我們建議讀者證明傅里葉變換是一個“sinc”函數，即sin（f?f0）/（f?f0）類型，其中f0是截斷振蕩的頻率。通過減少后者的持續時間，sinc函數“變寬”，在T→0的極限范圍內變得嚴格平坦，從而再現了單位脈沖的傅里葉變換。相反，如果持續時間T逐漸增加，則sinc函數“收縮”，并且對于T→+∞為δ（f?f0），即以f0為中心的δ函數。這并不奇怪，因為我們現在有一個頻率為f0的從?∞到+∞的完整振蕩，因此傅里葉頻譜是一條以f0為中心的線，在數學上用δ（f?f0）表示。

我們的結論是，必須牢記以下雙重性：