完整的Smith阻抗圓圖總結

導讀：文章從8個小節詳講，分為，1.關于Smith圓圖；2.等反射系數圓；3.等反射系數圓的分析；4.歸一化阻抗圓；5.電阻圓；6.電抗圓；7.完整的Smith阻抗圓圖總結；8.導納圓圖。

1.關于Smith圓圖

Smith圓圖是1939年由P.Smith在貝爾電話實驗室工作時開發的。

史密斯圓圖由兩族圓組成：等反射系數圓、歸一化阻抗圓圖。歸一化阻抗圓又包含了電阻圓、電抗圓兩種。

2.等反射系數圓

首先線上任意一點的反射系數等于下式：

注意：典型的傳輸線系統如下，只要寫的是z’，表示的是從負載端為坐標起點。另外z’/λ也就是電長度。

上面的反射系數式子，用實部和虛部的形式表示為：

用模的形式表示，有：

如果以Гu為橫軸（可以理解為x軸），Гv為縱軸（可以理解為y軸），畫圖,那么上式就就是以原點為圓心，反射系數的幅值|Г|為半徑的圓。這個圓就是等反射系數圓。如下圖：

3.等反射系數圓的分析

根據反射系數的計算公式：

當終端短路時，即Zl=0。此時反射系數Гl就為-1。-1也就是1ejπ。所以，短路點在坐標軸中的位置為（-1，0），即實部為-1，虛部為0，在圓圖中的最左邊的一點。

當終端開路時，即Zl為無窮大，根據上式兩個相等的無窮大比值就為1。此時反射系數Гl就為1。1也就是1ej0。所以，開路點在坐標軸中的位置為（1，0），即實部為1，虛部為0，在圓圖中的最右邊的一點。

當終端接負載等于傳輸線特性阻抗（Z0=Zl），此時反射系數就為0。所匹配點在圓心（0，0）的位置。

因為反射系數的模值范圍是：0≤|Г|≤1，所以等反射系數圓是一族以原點為圓心的同心圓，最小圓的半徑為0，此處為匹配點。最大圓的半徑為1，這個圓代表著全反射。

再根據下式來分析幅角θ。θ是從坐標原點出發，終止于單位圓的射線，并規定單位圓與正實軸的交點為θ=0°，從該點逆時針方向旋轉一周，θ從0°增加到360°。

反射系數的幅角的變化與傳輸線上兩點間的電長度△z’/λ有關，因此通?？梢杂秒婇L度來表示幅角。當z’=λ/4時，幅角-2βz’就等于-π。因此，半個圓周就相當于0.25λ，整個圓周相當于0.5λ。

另外，z’為正的時候，幅角θ為負數，也就是順時針。注意前面說過，只要寫的是z’，表示的是從負載端為坐標起點。所以，在圓圖中順時針轉的時候，就是從負載向電源端轉，逆時針就是向負載轉。

4.歸一化阻抗圓

實際的阻抗等于下式，注意Zc是特性阻抗，有時也用Z0表示，一般無耗傳輸線用Zc。

歸一化的阻抗寫成下式：

反射系數Г在前面已經用下式表示：

所以把上式代入到z，就可以得到z關于Гu和Гv的等式。將z也寫成實部和虛部的形式：

其中，把代入后得到的r和x值求出來，得到：

把上面兩個式子，再整理一下，就有了以下的式子：

還是以Гu為橫軸，Гv為縱軸，這兩個方程都是圓的方程。畫圓，當歸一化的電阻r取不同常數時，第一個式中畫出來的一族圓，就稱為歸一化電阻圓，第二個式子畫出的圓為電抗圓。

5.電阻圓

當Гu =1，Гv=0時，上式恒成立。所以不管r等于多少，這些圓都恒過（1，0）坐標點。

分析電阻圓的公式，圓心為（r/（1+r），0），半徑為1/（1+r）。r越大，對應的等電阻圓的半徑就越小。電阻r的范圍是0≤r＜∞。

6.電抗圓

圓心為（1，1/x），半徑為1/|x|，注意電阻r不可能有負的電阻，但x可正可負。x為正，代表感性，x為負，代表容性。所以可以畫出來兩組，而且恒過（1，0）點，如下所示：

由于反射系數的限制，所以上圖彩色圓的部分只有虛線內的才是可以用的。所以得到的電抗圓圖如下所示：

7.完整的Smith阻抗圓圖總結

將上述的等反射系數圓、等歸一化的電阻圓、等歸一化的電抗圓重疊在一起，就構成了完成是阻抗圓圖，又稱史密斯圓圖。

根據以上對圓圖構成的分析，可以得到以下的結論：

（1）圓圖的中心點對應于Г=0，r=1（即Zl=Zc），x=0，ρ=1，是匹配點。

（2）實軸上的所有點（兩端點除外）表示為純歸一化電阻。這是因為當x等于0時，電抗圓的半徑為∞，等電抗圓退化為實軸。

（3）實軸左端點對應的Г= -1，z=0，故該點是短路點。

（4）實軸右端點對應的Г= 1，z=∞，故該點是開路點。

（5）圓圖的單位圓對應于Г= 1，r=0，z = jx，所以該圓為純歸一化電抗圓。

（6）實軸以上x＞0，所以上半圓各點代表各種不同數值的感性阻抗。

（7）實軸以下x＜0，所以下半圓各點代表各種不同數值的容性阻抗。

（8）圓圖的右半實軸（幅角θ=0°）上的點對應于傳輸線上電壓的同相位點，所以的電壓波腹點（電流波節點），r的值即為電壓駐波系數ρ的值。左半實軸對應電流波腹點（電壓波節點），即電流的同相位點。

（9）圓圖最外圈標有電長度的刻度，阻抗圓圖上的電尺寸刻度的起算點在實軸的左端點。圈外刻度順時針轉，即“向波源方向”。逆時針轉，是“向負載方向”。

（10）串聯電感：順時針沿電阻圓移動。

因為電感和電容都只影響復阻抗，所以實部電阻是不變的，仍然在恒阻圓上。同時，電感的感抗jωL為正，串聯電感，電感增大，感抗增大。由于電抗圓中，順時針的感抗是增大的（可看上面電抗圓圖中x=0.5，x=1，x=2，x=4的位置，順時針時候感抗是增大的），所以串聯電感是沿著電阻圓、順時針轉。

（11）串聯電容：逆時針沿電阻圓移動。

串聯電容，電容是減小的，容抗減?。ㄘ摰母嗔耍?，所以逆時針轉。

（12）并聯，一般在導納圓圖中轉，具體見下文的導納圓圖。此時：

并聯電感：沿著電導圓、逆時針移動。

并聯電容：沿著電導圓、順時針移動。

8.導納圓圖

傳輸線上并聯元件或并聯分支線，用導納計算要比阻抗計算方便，用于導納計算的圓圖稱為導納圓圖。

因為導納Y是阻抗Z的倒數，所以傳輸線上歸一化的導納為：

上式也可寫做：

這個式子和阻抗圓圖的表達形式完全一樣，只是將原來電壓反射系數Г換成了電流反射系數ГI。因此，導納圓圖和阻抗圓圖的圖形完全相同，只是將阻抗圓圖作為導納圓圖使用時，應將阻抗圓圖中的r、x和Г相應地換位g，b和ГI。

在將阻抗圓圖作為導納圓圖使用時，因為ГI= -Г，所以原來阻抗圓圖實軸上的電壓波腹點和電壓波節點的位置，在導納圓圖實軸上分別是電壓波節點和電壓波腹點的位置。原來阻抗圓圖上的開路點和短路點的位置，在導納圓圖上對應短路點和開路點的位置。原來阻抗圓圖上的電尺寸刻度的起算點在實軸的左端點，在導納圓圖上在實軸的右端點。兩圓圖的匹配點都是左邊原點。

另外可在圓圖上由歸一化的阻抗求歸一化的導納。當位置z’=l時，阻抗和導納有下列的等式：

所以傳輸線上任意點z’=l處的歸一化輸入阻抗與間隔λ/4位置處的歸一化導納是相等的。所以可在阻抗圓圖上找到阻抗對應的點，沿著等反射系數圓將此點旋轉180°，相當于z’變化了λ/4，就得到了導納對應的點值。

編輯：黃飛