什么是頻譜泄漏？為什么會出現頻譜泄漏？如何最小化頻譜泄漏？

在數字信號處理領域，快速傅里葉變換（FFT）可以說是其核心內容之一。在利用FFT分析信號頻譜的過程中，不可避免地會出現頻譜泄漏現象，因此，我們所觀察到的信號頻譜只是其真實頻譜的近似，為了減少二者之間的誤差，我們必須最小化頻譜泄漏。接下來，本文就來簡單介紹一下什么是頻譜泄漏、為什么會出現頻譜泄漏、如何最小化頻譜泄漏以及窗函數對目標信號的負面影響。

1、什么是頻譜泄漏

頻譜泄漏是指 輸入信號中的某些頻率分量的能量出現在FFT輸出的其它頻率點上 。如下圖所示，我們希望信號的能量全部集中在主瓣上，但是實際上，信號的能量存在泄漏，也就是存在旁瓣，從而使能量出現在其兩側其它頻點上，產生頻譜泄漏現象。

2、為什么會出現頻譜泄漏

頻譜泄漏現象出現的原因是 FFT的輸入序列不包含分析頻率的完整周期 。FFT計算結果中的幅頻響應可以近似理解為對sinc函數的采樣，而sinc函數的參數受輸入序列包含的分析信號的周期數的影響。

假設輸入序列包含目標信號的完整周期，其幅頻響應如下圖所示，可以看出，輸出頻譜在對sinc函數進行采樣時，采樣到的旁瓣能量均為零，因此，其旁瓣能量不會對輸出頻譜中其它頻點的能量產生影響。

若輸入序列沒有包含目標信號的完整周期，則其幅頻響應如下圖所示，輸出頻譜在對sinc函數進行采樣時，采樣到了旁瓣能量，這些能量就會疊加在其它頻點的能量上，產生頻譜泄漏現象。

3、如何最小化頻譜泄漏

最小化頻譜泄漏的核心就是 降低旁瓣的幅度 。通過前文的分析可以發現，頻譜泄漏就是因為信號旁瓣的能量影響到了其它頻點，那么，只要能夠降低旁瓣的能量，就能減弱頻譜泄漏。

旁瓣能量的降低可以通過對輸入序列加窗實現。下圖是幾種不同窗函數的頻率響應，可以看出，窗函數的類型不同，其旁瓣衰減也不同。

分別利用這幾種窗函數處理發生頻譜泄漏的信號，處理結果如下圖所示，所用窗函數不同，頻譜泄漏的程度也不同。

4、窗函數對目標信號的負面影響

如果目標信號并沒有發生頻譜泄漏現象，那么窗函數對其有什么影響呢？

（1）降低主瓣幅度；

實際上，窗函數不僅僅會降低旁瓣幅度，同時也會降低主瓣幅度，只是此時旁瓣幅度相對于主瓣幅度而言更低了，重點在 相對幅度 。

（2）降低頻率分辨率。

窗函數帶來的另一個影響就是會拓寬主瓣寬度，這將導致頻率分辨率降低。如下圖所示，加窗處理后，主瓣寬度拓寬，導致目標頻率周圍頻點幅值不為零，一旦這些頻點存在有用信號，將無法準確區分其幅值，因此，頻率分辨率降低，準確的表述為 頻率分辨率減半 。