MATLAB在追跡光線(xiàn)計算中的應用

摘要：給出了理想光具組系統矩陣的MATLAB計算程序，并借助MATLAB進(jìn)行光線(xiàn)追跡與數值擬合，得到了像差(球差)的多項式及曲線(xiàn)圖。

0.引 言

幾何光學(xué)把光源或物體看成是由許多幾何點(diǎn)組成，并把由這種點(diǎn)發(fā)出的光抽象成幾何線(xiàn)一樣的光線(xiàn)，那么，只要討論光線(xiàn)的傳播來(lái)研究這種點(diǎn)經(jīng)光學(xué)系統的成像，問(wèn)題就變得非常簡(jiǎn)便和實(shí)用。盡管幾何光學(xué)所研究的只是一種對真實(shí)情況的近似處理方法，按此方法所解決的有關(guān)光學(xué)系統的成像分析、計算和設計等方面的光學(xué)技術(shù)問(wèn)題，在大多數場(chǎng)合下與實(shí)際情況相符。所以，幾何光學(xué)有很大的實(shí)用意義，是研究光學(xué)儀器理論必不可少的基礎。MATLAB作為一款優(yōu)秀的數學(xué)軟件，集成了最優(yōu)秀的算法，除具有強大的矩陣計算功能和友好的界面，還具備了良好的可視化性能．這些特點(diǎn)使得 MU蛆在光線(xiàn)計算、像差分析中大顯身手。

1.理想光具組的矩陣計算

幾何光學(xué)定律只在一級近似條件(sinφ≈φ)下成立，根據費馬定理在近軸條件下推出的物象方程，進(jìn)而得到牛頓公式（），高斯公式（）以及光焦度公式（），使得宏觀(guān)光 學(xué)的問(wèn)題基本解決。對于較復雜的光學(xué)系統，可以通 過(guò)追跡光線(xiàn)，根據物象相對性原理及逐個(gè)球面成像法，求出物體經(jīng)整個(gè)系統后所成的像。由于近軸物象空間的光線(xiàn)狀態(tài)的變化可以描述成某種線(xiàn)性關(guān)系，因此，用矩陣方法處理許多折射面組成的復雜光學(xué)系統尤其便利，只要追隨光線(xiàn)寫(xiě)下光線(xiàn)的傳遞矩陣及折射矩陣，再依次相乘，就可求出光學(xué)系統的基點(diǎn)和基面，也可得到物象關(guān)系。見(jiàn)表1

下面，以雙膠合望遠鏡的目鏡為例(如圖1所示)，

圖1.雙膠合透鏡目鏡球差示意光路圖

作有關(guān)系統矩陣的計算，rl=62.5，r2=-43.65，

r3=-124.35，nl=1，n2=1.51633，n3=1.6727，dl=4.0，d2=2.5，入射孔徑半徑a=10。

通過(guò)MATLAB編寫(xiě)的程序，很容易得到S矩陣=矩陣計算程序流程如圖2所示。

圖2. 系統矩陣計算程序流程圖

2.像差分析及可視化

我們已經(jīng)知道，任何實(shí)際光學(xué)系統只要在近軸區，就能象理想光具系統那樣具完善成像的性質(zhì)。因此，即使單個(gè)透鏡，只要其相對孔徑(孔徑僬距)和視場(chǎng)很小，也是能夠以單色光成完善像。但是，遺憾的是，只能對近軸小物體以細光束成完善像的光學(xué)系統并無(wú)實(shí)際意義，因為恰恰是相對孔徑和視場(chǎng)這兩個(gè)參數與光學(xué)系統的功能和使用價(jià)值密切相關(guān)。實(shí)際上，任何光學(xué)系統都需根據儀器的要求而具一定大小的視場(chǎng)和孔徑，它遠遠超出近軸區所限定的范圍。物面上各點(diǎn)成像光線(xiàn)的實(shí)際光路過(guò)于偏離理想路徑，是理想成像所應有的物象之間的共軛關(guān)系遭到破壞，形成像差。因此，任何實(shí)用的光學(xué)系統，旨在校正其像差以達到良好的成像質(zhì)量，都需要反復做大量的光路計算。

仍以雙膠合望遠鏡的目鏡為例，以單色光的軸上點(diǎn)球差為對象，用MATLAB計算并分析像差。當透鏡孔徑較大時(shí)，光軸上某一點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)透鏡不再交于一點(diǎn)，這種現象稱(chēng)為球差。對單色光而言，軸上點(diǎn)成像的不完善僅由球差引起(見(jiàn)球差示意光路)。由于像方截距L'是U或h的函數，則球差也必然是U或h的函數。但是L'與U或h之間被一套包括系統結構參數在內的光路計算公式所聯(lián)系，無(wú)法把球差用U或h顯函數形式表達出來(lái)。不過(guò)，可算出少數幾條實(shí)際光線(xiàn)后，用最小二乘法擬合出U或h多項式函數。由于光束對光軸的對稱(chēng)性質(zhì)，δL'的多項式中只能包含U或h的偶次方項，并且，只要計算子午面內的子午光線(xiàn)?？砂聪铝泄浇M計算。

圖3.球差一光線(xiàn)高度曲線(xiàn)圖

4.結束語(yǔ)

借助腳LAB強大的矩陣計算功能，優(yōu)秀的數值處理算法以及方便快捷的圖形可視化特點(diǎn)，來(lái)解決幾何光學(xué)中的理想光具組計算及像差分析，應該是一種有效的工具。

審核編輯：湯梓紅