晶體投影與標準投影圖講解

晶體投影

晶體內的幾何關系都是三維的，表示起來很不方便，是不同晶面晶向間的關系以及它們運動的軌跡很難用三維圖表達清楚。所以，往往把它們轉化為一種平面關系。最普遍使用的方法是極射赤面投影。

01極射投影

極射赤面投影方法如下圖1所示。

圖1 由球面投影轉化為極射赤面投影

先過參考球球心作以平面，以它作為投影面，投影面和參考球相交的大圓稱為基圓，又稱為赤道平面。垂直于投影面并過球心的軸NS為投影軸。投影軸在參考球上的兩個交點S和N詩參考球的南極和北極。處于上半球面上的極點（A、B跡點）和S相連，處于下半球面上的極點（跡點）和N相連，它們的連線和投影面的交點就是這個極點（跡點）的極射赤面投影點。

劃重點??！極射投影有何規律呢？

1、與赤道面平行的晶面，它的極射投影點必在基圓中心；

2、垂直于赤道面的晶面，它們的極點的投影必在基圓的圓周上。

3、傾斜晶面的極點的極射投影必在基圓內，晶面法線與投影軸的夾角越小，則投影點距基圓中心越近；反之，就越趨向于基圓圓周。

02等面積投影

在EBSD軟件中，取向數據還可以以等面積投影方式（equal area projection）表達。在等面積投影中，參考球上等面積區域在其投影中有相同的面積。這種投影的優點是真實地反映了密度分布，例如隨機取向分布在等面積圖上是均勻分布的（見下圖2-b），而在極射赤面投影中反而不是均勻分布的，中心區域的密度高，見下圖2-a。

圖2 500個隨機分布的晶粒某一晶面的極在極射赤面投影圖(a)和等面積投影圖中的分布(b)

在極射投影中，參考球上一點P經極射后在（放大的）赤道面上的投影點距中心原點的距離是2tan(α/2)，見下圖3-a。而等面積投影對應的距離是2sin(α/2)，見下圖3-b。

等面積投影與極射投影的比較

a-極射赤面投影；b-等面積投影；c-投影立體圖

確定極射赤面投影圖中的關系用吳氏（Wulff）網，而確定等面積投影圖中的關系用施密特（Schmid）網，見下圖4。

圖4 Wulff網（a）和Schmid網（b）

極射投影放大了極圖周邊的信息，而等面積投影放大了極圖中心區的信息。

等面積投影圖的缺點是參考球上的圓環投影后不再是圓環，大環上的角關系也不再保角到投影圖上。

在應用上，材料研究人員多用極射赤面投影圖，地質研究者多用等面積投影圖。兩種投影圖都可用來做極圖。

03標準投影圖

在實際應用中往往使用標準投影圖（也稱標準極圖），它只是將一特定的晶面（常是低指數晶面）作為投影面而得到的極射赤面投影圖。這樣可一目了然地看出晶體中所有重要晶面的相對取向。

制作這種投影圖時，一般選擇某個低指數晶面（例如(000),(110),(111)等）作為投影面，將其他重要的晶面（重要晶面的數目視具體需要而定）的極點投影到這個面上。

如果所選的投影面是(hkl)，則此投影圖就稱作(hkl)標準投影圖。

下圖是立方系(001)標準投影圖的制作過程及其標準投影圖。

圖5 立方系標準（001）投影

下面以這個立方系(001)標準投影圖為例說明制作方法。

在此之前，可以滑動返回前面看看極射投影圖的規律，更有助于理解哦~~

① 首先，確認基圓中心和基圓圓周：因為是(001)的標準投影圖，所以，(001)極點在投影圖基圓中心。(001)極點相對應的面痕是基圓圓周，因此[001]為晶帶軸的晶帶的極點都在基圓圓周上。

② 如果在圓周上任意確定一點為(100)，因(010)(100)垂直，所以從(100)極點在大圓周上逆時針數90°就得到(010)極點。

③ (110)和(-110)也屬[001]晶帶，計算它們與(100)和(010)的夾角，就可以定出極點位置：(110)與(100)和(010)的夾角均為45°，所以它的極點在基圓圓周(100)和(010)的極點中間位置；(-110)與(100)和(010)極點的夾角分別為135°和45°，它的極點在(010)極點沿大圓周逆時針轉45°處。

④ 以[100]為晶帶軸的晶帶在投影圖過(010)及圓心的直徑上，(0-11)及(011)晶面屬于此帶軸。同樣，計算它們與(001)及(010)的夾角就可以定出它們的極點的位置。

⑤ 以[010]為晶帶軸的晶帶位于投影面過(100)極點及圓心的直徑上，(101)及(-101)晶面屬于此帶軸，同樣，計算它們和(010)及(001)的夾角就可定出它們的極點位置。

⑥過(010)及(101)的大圓弧是[-101]晶帶，而過(100)及(011)極點的大圓弧是[0-11]晶帶，而(111)同屬[-101]和[0-11]晶帶，所以這兩個大圓弧交點必是(111)極點。

⑦按照上面類似的辦法可以一一定出各重要晶面的極點。

如何得到其他任一(hkl)面的標準極圖？？

有了(001)標準極圖，要得到其他任一(hkl)面的標準極圖，只需將(001)極圖中的(hkl)極點沿其與(001)點的連線（直線）轉到投影中心原(001)點位置，其他所有的極點都繞垂直于原(001)與(hkl)點連線且過原點的法線軸沿相應的緯度線轉同一角度得到。

下圖6-c為（111）標準極圖的獲得。

圖6 不同標準極圖間的轉換

審核編輯：湯梓紅