什么是傅里葉變換？

對于一個離開課堂十余年的射頻工程師來說，傅里葉變換已經不知道埋藏在腦子里的那個角落，或者根本就沒在腦子里停留過。但無論如何，傅里葉變換對現在通信的重要性還是不言而語。當我們已經習慣用頻域去描述一個信號的時候，你可曾思考過其真實的樣子到底是什么？為什么這幾個短短的頻譜就可以描述一個信號？

所以呢，我們首先得感謝傅里葉，正是傅里葉大神的天才發明，帶給我們一個全新的看待問題的角度，讓我們跳出時域這個圈子，站在頻域的角度去看待問題。這樣做又有什么好處呢？且看下文。

首先來瞻仰一下傅里葉大神的肖像，致敬兩分鐘。（做好閱讀全文的心理準備）

其實傅里葉大神在最初提出這個思想的時候，并沒有想著去解決信號的問題，而是要來描述溫度的變化曲線，其實當時麥克斯韋也還沒有出生。傅里葉大神在1830年去世的時候，麥克斯韋還是是個躲在媽媽肚子里的小貝比呢。發明電話的那個亞歷山大貝爾還要再過十幾年才出生。所以，無心插柳柳成蔭吧。其實傅里葉變換除了在通信上有很重要的應用，在很多領域都有著不可替代的重要性。其作為一個數學工具，已經遍布現代科技的各個角落。傅里葉大神當時在法國科學學會上發表了一篇論文，這篇論文用正弦波來描述溫度變化曲線。如果只簡單描述溫度曲線的話也就罷啦，他出人意料的提出了一個在當時具有相當大的爭議性的論斷：任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。就像我們做選擇題一樣，太武斷的答案一定是錯的，所以當時人們也特別質疑過這個論斷，最著名的當屬兩個最著名的數學家拉格朗日和拉普拉斯。當時他們哥倆是傅里葉這篇論文的審稿人。所以說當時真是個神仙打架的時代。剛好在傅里葉大神的這篇論文審查時，拉格朗日和拉普拉斯兩位拉氏牛人就干起來了。拉普拉斯同意傅里葉的觀點，并同意發表這篇論文，而拉格朗日則堅決反對，因為拉格朗日堅決認為，傅里葉的方法無法表示帶棱角的信號。大家被高等數學里面拉格朗日的各種數學分析方法折磨，就知道，這個牛人我們惹不起，當時更沒人去挑戰拉格朗日的權威。因此這個論文就遲遲沒有發表。直到拉格朗日去世15年之后才公布于世。

不用說，現在傅里葉的論斷確實是正確的，為什么呢？因為老師說了，我們學了。那到底是不是這個回事呢？

我們先來看一下矩形信號能不能用一組適當的正弦曲線來組合而成？看下圖所示，一個正弦曲線時，和矩形差遠了。但是當疊加的正弦信號越來越多的時候，這個組合而來的圖形就越來越方了。當有無窮多個正弦曲線組合到一起的時候，這個組合圖就是矩形了。奇怪的是拉格朗日發明了無窮級數，怎么能沒想到這點呢？可能是屁股決定了腦袋。

當然，人們對傅里葉的論斷又做了補充和擴展。傅里葉變換就是：

f(t)是t的周期函數，如果t滿足狄里赫萊條件：在一個以2T為周期內f(X)連續或只有有限個第一類間斷點，附f（x）單調或可劃分成有限個單調區間，則F（x）以2T為周期的傅里葉級數收斂，和函數S（x）也是以2T為周期的周期函數，且在這些間斷點上，函數是有限值；在一個周期內具有有限個極值點；絕對可積。

我們先把上面這個公式拋在腦后，接著講一下為什么是正弦曲線Sin（x）/余弦曲線？因為它簡單啊。它就是一個棍在轉圈圈。當一個點在繞著一個圓心做圓周運動時，其隨時間變化的曲線就是正弦曲線/余弦曲線。

當我們把一組沿著不同圓周，不同圓心轉圈圈的點都拉到時間軸上來的時候，其就會變得越來越方。

那跟頻域有什么關系呢？

好像有沒啥關系，這就是傅里葉級數吧。

沒錯，就是傅里葉級數，但是把傅里葉級數的求和表示成積分形式就是傅里葉變換。

可能這里大家有點疑惑，上面傅里葉級數用的是三角函數Sin和Cos，但是下面的傅里葉變換卻換成了e的指數。原因有兩個，一是，太懶了，不想再編輯公式，第二個是感謝歐拉！歐拉統一了e的指數和正余弦函數：

我們繼續研究上文的那個矩形曲線。我們把組成矩形曲線的這些正弦曲線鋪開放平，就可以觀察到它的頻域方向。從頻域方向看過去，就是一個個一定幅度的固定在某一頻率上的線。從頻域方向看過去，所有都靜止了，沒有時間了。也就是說，我們通過傅里葉變化，把信號從時域空間搬到了頻域空間。

就像我們之前討論電磁波的三要素一樣，這個頻域信號也具有同樣的三要素：幅度，頻率和相位。幅度就是信號的強弱，或者是傅里葉級數里面的an，頻率就是里面的，相位就是信號的初始位置。

至此，我們就把信號從時域空間搬運到了頻域空間，而且兩個空間所描述的信號是一模一樣的，就像一個人有兩個名字一樣，劉備和劉玄德都是指的同樣一個人。頻域里的信號和時域里的信號一樣。所以，有時候分析一個信號，我們可以用頻譜分析儀去看它的頻譜，也可以用示波器去看它的波形一樣。

那么只要是滿足狄里赫萊條件的信號，都可以用傅里葉變換把其從時域變換到頻域。因為它都可以分解成一系列合適的正弦曲線的組合。

比如像FM調制的信號，其時域波形和頻譜如下圖所示。