模擬信號和數字信號的橋梁——奈奎斯特采樣定理

在我們周圍有著各種各樣的模擬信號，比如，電流，電磁波，溫度，聲音等等。作為計算機系統來說，它只認識0和1，意味著它只能處理數字信息，但是，它是如何處理我們周圍的這些模擬信號的呢？要理解這個問題，我們需要理解在數字信號處理領域中一個非常重要的定理——采樣定理，它是模擬信號數字信號之間的一個基本橋梁，本文將和大家一起學習奈奎斯特-香農采樣定理。

采樣定理1928年由美國電信工程師奈奎斯特首先提出來的，因此稱為奈奎斯特采樣定理。1933年由蘇聯工程師科捷利尼科夫首次用公式嚴格地表述這一定理，因此在蘇聯文獻中稱為科捷利尼科夫采樣定理。1948年信息論的創始人香農對這一定理加以明確地說明并正式作為定理引用，因此在許多文獻中又稱為香農采樣定理。

我們先來看下面一個例子，對于一個正弦信號：

如果我們分別以0.5，0.25，0.1，0.01的間隔取點，然后再將每個點用直線連接起來。

從上面的圖中可以發現，時間間隔越小，記錄這個信號的點數也多，信號還原的就越精確。顯然，我們不可能無限多的點數去記錄這個信號，如何才能準確的表達信號，又能合理的使用計算機資源？

其實大佬們早就有研究，就是我們今天要學習的奈奎斯特-香農采樣定理。

采樣頻率要大于信號最高頻率的2倍，才能無失真的保留信號的完整信息。

即：

這里，我們將這個信號頻率（這個臨界點）叫做奈奎斯特頻率。下面我們不妨先通過一個實驗來理解這個定理，假如有下面這樣一個信號:

令f=5 Hz, 再分別依次以5Hz，10Hz，20Hz，40Hz，100Hz的采樣率進行采樣，觀察不同采樣率情況下時域和頻域的信號還原情況，老規矩先上代碼。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def signalCreate(_fs,_N,_f0):
fs=_fs#采樣率
N=_N#數據點數
f0=_f0
n=np.linspace(0,N-1,N)
t=n/fs
yt=np.exp(1j*2*np.pi*f0*t)
f=n*fs/N-fs/2
yf=np.fft.fftshift(np.fft.fft(yt))

returnt,yt,f,yf

t,yt,f,yf=signalCreate(5,128,5)
plt.subplot(5,2,1)
plt.plot(t,yt)
plt.subplot(5,2,2)
plt.plot(f,np.abs(yf))

t,yt,f,yf=signalCreate(10,128,5)
plt.subplot(5,2,3)
plt.plot(t,yt)
plt.subplot(5,2,4)
plt.plot(f,np.abs(yf))

t,yt,f,yf=signalCreate(20,128,5)
plt.subplot(5,2,5)
plt.plot(t,yt)
plt.subplot(5,2,6)
plt.plot(f,np.abs(yf))

t,yt,f,yf=signalCreate(40,128,5)
plt.subplot(5,2,7)
plt.plot(t,yt)
plt.subplot(5,2,8)
plt.plot(f,np.abs(yf))

t,yt,f,yf=signalCreate(100,128,5)
plt.subplot(5,2,9)
plt.plot(t,yt)
plt.subplot(5,2,10)
plt.plot(f,np.abs(yf))

plt.show()

結果如下圖，左邊是時域右邊是頻域。當采樣頻率是5Hz時，還原出來的信號是一個頻率為0的直流信號，顯然，這里當采樣頻率小于信號頻率的兩倍時是無法準確還原原信號的；當采樣頻率是10Hz時，還原出來的信號似乎也還是有些不對的地方，在頻域上很明顯信號不能完整的顯示出來；當采樣頻率是20Hz時，不管是時域還是頻域還原出來信號都已經很接近原始信號了；當然我們繼續增加采樣頻率，當采樣頻率是40Hz和100Hz時，還原出的信號更加接近真實信號了。

不同采樣率采樣

不過，我們對比采樣頻率40Hz和100Hz的頻域圖形可以發現，100Hz的明顯要“胖”一些。這是因為頻率分辨率變大了，采樣點數不變，采樣分辨率隨著采樣頻域增加而增加，采樣分辨率可以用下面的公式計算：

顯然，采樣頻率如果太低就不能正確還原真實信號；但是如果采樣頻率太高，會有較大的頻率分辨率，同時又會有產生大量的數據。通常，在實際應用中采樣頻率會選擇比兩倍奈奎斯特頻率要大一些（比如3～5倍）。

另外，在采樣的過程中，對比采樣頻率和奈奎斯特頻率大小關系，我們還可以這樣來描述：

采樣頻率高于兩倍奈奎斯特頻率，這種采樣被稱為過采樣；

采樣頻率低于兩倍奈奎斯特頻率，這種采樣被稱為欠采樣。