LinearAmplitude濾波器設計詳解

本文提出了一種新型的濾波器，其頻響具有直線特性，本文將詳細解釋如何推導這種特殊的濾波器。最后介紹基于Matlab的濾波器設計軟件，以低通為例，展示其功能。給出Github相關鏈接。

直線幅度濾波器特點和用途

直線幅度濾波器(Linear Amplitude Filter, LR Filter)濾波器本公眾號首次公開的一種濾波器，其幅頻特性在某一點上具有最佳直線幅度逼近特性，這種濾波器可以用于補償線纜插損，可以用于幅度均衡和濾波器兩用。

直線幅度濾波器

直線幅度濾波器是一類特殊的理想濾波器，其地位和矩形濾波器以及高斯濾波器相當，是無法通過多項式直接擬合得到的，只能通過函數逼近的方式得到，現在我們總結下現有濾波器設計。

總共有三類濾波器綜合如下(當然這個圖還可以擴展)：

直線幅度濾波器綜合全流程如下：

直線幅度濾波器逼近

這里定義直線幅度濾波器的幅頻響應為：

其中為階直線幅度濾波器多項式。

約束

1,是階多項式(可實現性，在頻率增益為0)

2,(直線特性第一點，在頻率為0的位置增益為，其中)

3,(直線特性第二點，在頻率為1的位置增益為)

4,(直線濾波器帶寬定義，幅度最高點規定為1)

5,在通帶范圍內逼近直線(直線幅度濾波器特征)

直線幅度逼近

首先需要澄清一點是定義，為了可實現性，因為只有多項式是偶次項才能實現，偶次就意味著零點關于虛軸對稱，所以，最后濾波器極點就一定可以選擇到左半邊平面，是可以實現的。

照例我們定義:

是一個偶次多項式。

由約束2和3可以繪制出理想濾波器草圖：

那么我們可以得到直線濾波器在帶寬范圍內的直線表達式：

由約束1，是一個多項式，所以在區間范圍內，結合式和式，得到：

變量代換得到：

我們得到了理想濾波器在范圍內的函數關系式，這里使用泰勒展開來進行幅度逼近，其中展開的點可以在范圍內隨意指定:

為簡單起見，這里將展開點定為，并且，使用wolfram alpha計算：

得到：

從泰勒逼近式我們可以看到，只能取偶數，當為奇數時，最高次項是負，當頻率為無窮時，，違反約束1。這里取，得到:

看看逼近效果：

由于泰勒逼近只在有效，所以最終逼近后約束2,3,4將失效，所以需要對式和進行處理，由約束3,4以及式可以得到多項式：

所以需要調整直線的截距來達到約束條件：

要依據式(8)和泰勒逼近(6)聯合得到所需的和展開點，最終求解的方程為：

兩個方程兩個未知數，式(8b)求解過程非常復雜，我們采用數值求解方案：這里采用了chebfun函數逼近庫來計算，得到時,,，多項式為：

最終效果如下：

這個濾波器就是帶寬為1，斜率為0.5的4階直線幅度濾波器響應。

那么當階數增加，逼近效果怎樣呢，這里制作了階數從2到20階的幅度響應動圖(圖中對比了Butterworth頻響)：

下圖是將幅度修改為dB，頻率軸還是線性：

歸一化參數與階數的關系如下，當階數升高，最終值會趨于0.5。圖中16階后曲線有偏移是因為計算精度問題。

奇數階濾波器設計

目前還未找到一個有效的辦法解決奇數階直線幅度濾波器的設計(探索了幾個方案均不滿意)。

線性幅度濾波器多項式

和勒讓德濾波器類似，線性幅度濾波器多項式并沒有統一的公式來求解，這里采用了Matlab的符號計算工具來進行求解：

%--------------------------------------------------------------------------
% Edited by bbl
% Date: 2023-07-03(yyyy-mm-dd)
% 線性幅度濾波器系數設計
% 注意返回值低次在前，高次在后
%--------------------------------------------------------------------------
function [Ln] = funGenLinearAmpPoly(FilterOrder, IL)
if mod(FilterOrder, 2)
    Ln = [];
    warning('FilerOrder must be even');
    return;
end
% 使用chebfun函數計算m和b，使得在w=1處有單位增益和最大值
[m, b] = funLinearAmpGet_mb_chebfun(IL, FilterOrder);
if FilterOrder > 20
    dig = 100;
else
    dig = 16;
end
syms x
% 定義了直線幅度濾波器傳遞函數
f = 1/((1-IL)*sqrt(x)+b)^2;
a = sym(m);
coeffsx = sym(0);
for k = 0:FilterOrder
    kk = sym(k);
    % 使用在x=m處的麥克勞林展開得到系數
    coeffsx = coeffsx + vpa(subs(diff(f, x, kk) / factorial(k), x, a)*vpa((x-a)^kk, dig), dig);
end
polyx = coeffs(coeffsx);
% 計算平方的系數
Ln = vpa(zeros(1, length(polyx)*2-1), dig);
Ln(1:2:end) = polyx;
end

輸入，的到參數：

>> [Ln] = funGenLinearAmpPoly(2, 0.707)
Ln =
[1.4882, 0, -0.9764, 0, 0.4882]

也即得到2階直線幅度濾波器多項式：

這里給出數值計算出的線性幅度濾波器前14階偶數濾波器多項式(注意這里不是特征多項式)：

濾波器階數
2
4
6
8
10
12
14

在s平面取其左半邊極點得到前14階偶數線性幅度濾波器系數為(時幅度為1，時幅度為0.707)：

濾波器階數
2
4
6
8
10
12
14

前14階線性幅度濾波器極點為(時幅度為1，時幅度為0.707)：

濾波器階數
2
4
6
8
10
12
14

線性幅度濾波器零極點

不同參數對線性幅度濾波器的極點影響如下圖所示，其極點分布推測和高斯濾波器一樣符合某種Szeg?曲線分布(其中兩個參數為0.5，另外一個參數從0.1掃描到0.9)：

當濾波器階數非常高時就極點分布規律就非常明顯（以下展示100階濾波器極點分布）：

下圖是不同類型濾波器的零極點分布圖，紅色曲線和點是6階直線幅度濾波器極點分布：

直線幅度濾波器綜合

這里僅使用全極點濾波器來綜合，列出一個簡單的2階3dB直線幅度濾波器綜合實例，以供參考：

直線幅度濾波器IL(As)限制

對于上述線性幅度濾波器，由于綜合實現方面的限制，對于兩端匹配線性幅度濾波器，只能滿足特定IL(As)目標，比如對于2階線性幅度濾波器，其As必須小于3.4dB，對于10階線性幅度濾波器，其As必須小于2.3dB。

具體如下圖所示(圖中陰影部分是可實現的部分)：

但是對于單端匹配狀態下的線性幅度濾波器，可以綜合出來的幅度調整范圍就寬很多，如對于終端開路的直線幅度濾波器，假設，那么可以得到如下的綜合結果：

同樣的參數4種不同終端情況匯總如下，均可以綜合出實際的電路出來：

當然兩端口直線幅度綜合限制也是有的，如下所示(圖中陰影部分是可實現的部分)：

直線幅度濾波器設計軟件

基于Matlab的appdesign工具開發了一套濾波器設計軟件, 主要特點是：

支持直線幅度濾波器(Linear Amplitude Filter)、勒讓德濾波器(Legendre Filter)、高斯濾波器(Gaussian Filter)、貝塞爾濾波器(Bessel Filter)、橢圓函數濾波器(Elliptic/Cauer Filter)、切比雪夫濾波器(Chebyshev I)、逆切比雪夫濾波器(Chebyshev II, Inverse Chebyshev)、巴特沃斯濾波器(Butterworth)設計

支持4種不同濾波器通帶類型(LPF,HPF,BPF,BRF)設計

T型和PI型結構濾波器隨意切換

可以設置阻帶衰減決定濾波器階數

可以設置通帶衰減來綜合濾波器

可以隨意配置負載和終端阻抗, 并支持一端接載(源端電阻短路, 源端電流源, 終端開路, 終端短路)設計

可以幅頻響應分析、零極點分析、瞬態分析

可以顯示理想頻率響應、零極點和實際仿真的的頻率響應、零極點

可以支持實際標準器件逼近設計

LinearAmp LPF設計舉例

設計一款-2.0dB截止頻率為1GHz, 8階低通線性幅度濾波器，輸入輸出阻抗為50歐姆，設計過程如下：

最終設計參數如下：

線性幅度濾波器瞬態仿真結果：

線性幅度濾波器AC仿真結果：

程序的Matalb源碼已經上傳GitHub中(https://github.com/etools361/MatlabLinearAmpFilterDesignApp)，有興趣的同學可以下載試用體驗，當然也歡迎技術交流。

展望

本文只提出了偶數階濾波器的梯形網絡實現方法，還可探索奇數階濾波器設計；

理論上還存在多種不同實現方案，比如使用電阻和電容網絡實現；

兩端匹配衰減幅度的范圍也可以進一步拓寬；

匹配特性還可改善，比如將對地電阻衰減更換為衰可以進一步改善駐波；

審核編輯：湯梓紅