FFT卷積是什么？FFT卷積基本過程描述

信號與系統基礎之卷積定理：頻域乘積相當于時域卷積，千萬不要問我什么，可以去看看教材上的公式推導。

運算效率對比分析，使用FFT快速卷積法（實線）明顯比時域卷積乘法次數要少，一般而言64點以上，FFT法就具有優勢。

FFT卷積基本過程描述：設信號x長度n，卷積系數h長度為k，則時域卷積結果長度為L=n+k-1，為了采用高效的基2型FFT算法，需要將信號和系數均在末尾補零擴展到最接近的2的N次方長度m（比如n=32，k=16，則L=32+16-1=47，最近的2的N次方為64），然后分別做m點FFT變換到頻域后再復乘，最后IFFT變回時域。

從上理論就講說這么多，更詳細的可看看相關專著書籍，接下來用matlab仿真來看看運算過程的中間環節是什么樣；

clc;
clear;
%%設定信號參數
T=10e-6;           %信號長度：us
f0=3e6;           %信號1：3MHz
f1=8e6;           %信號2：8MHz
fs=80e6;            %信號采樣率：MHz
t=-T/2:1/fs:T/2-1/fs; %時間序列


%加載fdatool設計的濾波器FIR系數
load("coef.mat");
%濾波器頻率響應
freqz(coef,1,200,fs);
%低通濾波器參數：3MHz帶寬，截止頻率4MHz，帶外抑制80dbc

信號和變量長度

信號長度800，系數長度134，則卷積結果長度為800+134-1=933，因此需要補零擴展到1024點；

%生成信號：模擬采樣過程
if_sig=cos(2*pi*f0*t)+cos(2*pi*f1*t);
%加入白噪聲SNR=30dB
if_sig=awgn(if_sig,30,'measured');    
% if_sig=round(8192*if_sig); %中頻信號
plot(if_sig);title('原始信號');

plot(coef);title('濾波器系數的時域');
coef_fft = fft(coef,1024);
len=length(coef_fft);
f_x=(0:len-1)*fs/len;%頻率序列
f_x=f_x/1e6;
plot(f_x(1:len/2+1),10*log10(abs(coef_fft(1:len/2+1))));
title('濾波器系數的頻域');
xlabel('頻率/MHz');ylabel('幅度/dB');

此處留一個坑，下回繼續

sig_fft = fft(if_sig,1024);
plot(f_x,20*log10(abs(sig_fft)));
title('原始信號做1024點FFT');
xlabel('頻率/MHz');ylabel('幅度/dB');

%頻域相乘，注意此處為復數乘法
conv_fft = sig_fft.*coef_fft;
plot(f_x,20*log10(abs(conv_fft)));
title('信號和系數頻域乘積后');
xlabel('頻率/MHz');ylabel('幅度/dB');

上圖為頻域濾波后結果，可以看到8MHz的帶外信號被濾除，剩下3MHz的帶內信號；接下來就是變換回時域波形。

%IFFT變換還原到時域
fft_filter_out = ifft(conv_fft);
plot(fft_filter_out);
title('FFT卷積頻域濾波后的信號波形');

為了方便對比，下邊給出通過時域卷積方式的運算結果

%時域卷積方式濾波
conv_filter_out = conv(if_sig,coef);
plot(conv_filter_out);xlim([1,1200]);
title('時域卷積方式濾波后的信號波形');

從上面時域處理、頻域處理的結果可以看到，兩者處理后時域處理的結果和頻域處理后的前933個點的結果相同。