從時域和頻域闡述Σ-Δ ADC提高SNR的原因

現實世界是一個模擬世界，我們需要將現實世界的模擬信號送給DSP，供其處理，這就需要模擬信號和數字信號之間的一個接口，ADC和DAC。隨著DSP運算速度的加快，隨之而來的是ADC的高速和高精度性能同樣需要進一步提高。

ADC概況

我們首先來看一下常規的電學系統框圖，如下圖所示，將現實世界的模擬信號感應、放大、濾波，再經過A/D轉換，送給DSP處理，處理之后送給D/A，接著濾波、放大，送給執行器輸出。這個系統具有普適性，當然如果考慮射頻系統的話，再加上混頻器即可。從這個系統框圖中，我們可以看出ADC和DAC在整個電學系統中所處的位置和作用。其性能往往成為系統的瓶頸，設計高性能的ADC和DAC是非常有挑戰的。

對于ADC來講，主要的設計指標是精度和速度，遺憾的是，ADC的高速和高精度的滿足是一對矛盾。不同結構的ADC要么是犧牲速度來換取精度，要么是犧牲精度來換取速度。當然，隨著集成電路工藝的進步，以及電路設計人員的不懈努力，這對矛盾可以稍微緩解。

下圖給出了常見的ADC結構及其可實現的精度和速度的對比情況，可以看到，沒有一種結構可以同時實現高精度和高速度。本文接下來要介紹的是Σ-Δ ADC (Oversampled）,它是以犧牲速度來換取精度的。

Σ-Δ ADC

為什么要首先介紹它呢？

正如題目所寫，它是一個非常神奇而又有趣的結構，比如，它可以采用一個單比特的量化器，實現多比特輸出的效果。和其它ADC結構相比，它是結構上的一種完全的創新，接下來我們一起來揭開它的神秘面紗。

在引入Σ-Δ ADC之前，首先引入一個實際的例子，以便大家理解。

小孟在國外留學時，面對繁重的課業壓力，他每天需要喝一杯咖啡來提神。幸好學校附近有一家百年咖啡老店，以醇香的味道深深地吸引著他。這家店一杯咖啡的售價是3.47刀，不支持刷卡支付（百年老店的倔強）。剛開始時，每天他付給店員5刀，然后店員給他找零1.53刀。日積月累，大家都覺得這樣有點兒麻煩，店員需要準備大量的零錢以供找零，而小孟拿了一堆零錢也不是很方便。所以大家達成一個協議，小孟每次要不付5刀，要不不付錢，多付的或者虧欠的金額采用記賬的方式。那么小孟什么時候需要付錢呢？每當小孟買完咖啡時，如果虧欠的金額超過2.5刀時，則需要付5刀，否則不需要付錢。這個過程可以用如下的示意圖來表示，這里只給出了前三天的情況，后面的可以以此類推。其實大家可以想象到，雖然每天看起來彼此會互欠一些金額，但是長此以往，小孟所付的金額之和，和他所買咖啡的價格之和幾乎是完全一樣的，而且極大地方便了彼此。

我們可以將上述過程轉換為電路語言，如下圖所示。其中，輸入u代表一杯咖啡的價格，y代表當前交易時小孟欠店主的金額，將這個金額和2.5比較，來決定當前交易是否需要付錢，比較的過程可以用一個單比特量化器表示。v表示當前付款的情況，為0，或者為5，類似一個單比特量化器的輸出結構。然后將y和v做差，表示當前交易結束后，交易雙方互欠金額的情況，z^-1^為一個延遲單元，表示將這個互欠金額的結果送到第二天，并和第二天的咖啡價格累加，以此類推。如果將長時間v的輸出結果累加并求平均，得到的，可以認為近似等于輸入u。

從下圖可以看出，隨著循環次數的增加，v的平均輸出非常接近輸入u。

從某種意義上來講，上述過程類似于一個模數轉換的過程。輸入的3.47為模擬值，采用二值化的量化輸出結果v的長時間平均值來表示輸出u，雖然二值化輸出結果v并不能代表模擬輸入u，但是其長時間均值卻可以代表u，這意味著將模擬信號轉換成了數字信號。

其它類型ADC的SQNR(Signal-to-Quantization-Noise Ration)取決于量化器的量化間隔，這也符合人們直觀的認識，當用一個數字信號表示模擬信號時，自然劃分的格子越細，數字信號和模擬信號越接近，意味著實現的精度越高。但是在Σ-Δ ADC中，采用1-bit的量化器就可以實現很高的分辨率，正如前文所提到的，這是一種結構上的完全創新，其包含了以時間換精度的思想。

利用信號流圖的化簡，上述電路結構可以等效成下圖所示的結構，這是Σ-Δ ADC更為常用的一種結構，稱為誤差累積結構，而上述結構稱為誤差反饋結構。其中1/(1-z ^-1^ ）為累加器，這就是Σ的由來，Σ的輸入是u和v的差（Δ運算），所以稱為Σ-Δ 。該ADC除去輸出濾波和降采樣部分，稱為Σ-Δ調制器，至于為什么叫調制器呢，也許大家第一次接觸到的調制的概念就是通信領域的調制解調器，調制是指基帶信號對高頻載波信號的幅度、頻率或者相位進行改變，從而將基帶信號的信息加載到了高頻載波上。在這里，調制可以認為是對信號處理的一個過程。

對于一個穩定的Σ-Δ ADC，量化器的平均輸入為有界信號，這也意味著累加器的平均輸入為0，所以u和v的平均值相等。

過采樣（Oversampling）

其實，上述情況是假設輸入u為一個恒定值，通過環路的迭代才使得v的平均值等于u。如果環路迭代一次，輸入u就變化一次，那么就無法實現多次迭代。所以，上述環路的工作速度要遠大于輸入變化的速度，因此為過采樣結構。

從頻域上來看，量化噪聲在2π范圍內平均分布，由于是過采樣，所以信號只處于一個非常窄的范圍之內，通過濾波操作就極大地減小了量化噪聲。這是Σ-Δ ADC利用單比特量化實現了多比特輸出效果的一個原因。

過采樣本身并不能改善SQNR，而是過采樣技術和濾波操作結合才能改善SQNR。

該結構后面的求平均的過程就是上述所提到的濾波器的濾波操作，該數字濾波器后面再接上一個降采樣的結構，將高速率的v降到和輸入u同樣的速率。

噪聲整形（Noise-shaping）

考慮量化器的量化噪聲為一個加性白噪聲。利用梅森定理，Σ-Δ調制器的量化噪聲的閉環輸出為：

其功率譜密度為：

用s變換和z變換的關系得：

注意這里的ω表示數字角頻率，對應于上一篇的Ω的。這里用ω是為了和很多文獻保持一致性。

其中，稱為噪聲傳輸函數（NTF），其幅度的平方如下圖所示，呈現一個高通特性。這使得處于信號帶內的噪聲被進一步抑制，這是Σ-Δ ADC利用單比特量化實現了多比特輸出效果的另一個原因。

定義過采樣率為：

fB為信號的最高頻率。

假設量化噪聲為白噪聲（通常成立），那么帶內量化噪聲為：

上式可以看出，隨著OSR的增加，量化噪聲減小。當OSR增加一倍，量化噪聲減小9dB，也就是ENOB(effective number of bits)增加1.5bit。#### 二階Σ-Δ調制器

為了進一步提高分辨率，可以考慮將一階結構的量化器用一個一階Σ-Δ調制器替代，如下圖所示：

此時，輸出V的表達式為：

從該式可以看出，現在的噪聲整形傳函為二階，應該可以得到更好的噪聲整形效果。同理可得此時的帶內量化噪聲為：

此時，OSR增加一倍，量化噪聲減小15dB，也就是ENOB增加2.5bit，表現出更好的噪聲整形效果。#### 高階Σ-Δ調制器

我們可以將上述結構進行推廣到L階，帶內噪聲功率表達式為：

此時，當OSR增加一倍，ENOR增加(L+0.5)bit。那么我們可以一直將階數增加下去，以至實現一個非常好的SQNR性能的ADC嗎？

當然是不可能的，高階環路會引入穩定性問題，后續文章會介紹這一問題。

多級噪聲整形結構（MASH）

由于多級Σ-Δ結構會有穩定性問題，可以考慮將多個低階結構進行級聯，該結構的穩定性由低階環路決定，而實現的噪聲整形特性卻是高階的。如下圖所示，這是一個兩級結構級聯的MASH結構，將第一級的量化噪聲送入到第二級結構的信號輸入端，并將兩級各自的輸出經過一定處理后疊加。如果每一級都是一個兩級的Σ-Δ調制器，那么該MASH結構實現了一個四階噪聲整形效果。如下式所示，V1和V2疊加時要將第一級的量化噪聲抵消掉：

這個結構看似完美，解決了高階環路的穩定性問題，而又實現了高階噪聲整形效果，但是由于需要實現兩式相消，所以它們之間的匹配性成為了很重要一個問題。

多比特Σ-Δ調制器

我們將前述的Σ-Δ結構進一步具體化，如下圖所示。用一個ADC來表示量化器。之前的結構將量化器輸出直接反饋回去和輸入的模擬信號相減，我們不可能將模擬信號和數字信號直接進行運算，量化輸出結果在反饋到輸入端之前首先需要D/A變換。

為什么要引入多比特結構呢？

比特數越多的量化器的量化噪聲越小，因此在同樣階數，同樣OSR的情況下，可以實現更高的SQNR。

單比特的ADC的增益因子不好確定（后續文章展開），因此在考慮穩定性時，為保證環路增益變化的情況下，環路依然穩定，輸入信號幅度需要減小，這降低了SNR。

DAC的非線性會導致調制器輸出的非線性。這是由于反饋增益的存在會使DAC的輸出等于輸入信號u，因此當DAC存在非線性時，DAC的輸入便會失真，以使其輸出等于輸入信號u。

對于一個單比特的DAC，則不存在非線性問題，因為其輸出只有兩個電平。類似兩點確定一條直線的思想，單比特不存在非線性。但是，正如前文所述，量化器采用多比特的ADC具有很大的優勢，DAC的位數應該匹配ADC的位數，因此，DAC的非線性還是我們需要解決的一個問題。Trim手段或者Σ-Δ DAC均可以有效解決這個問題。

小結

本文從時域和頻域分別闡述了Σ-Δ ADC可以提高SNR的原因，過采樣和噪聲整形是Σ-Δ ADC的核心思想，理解了它們，意味著我們窺見了其復雜內涵的一角。為了提高其SNR，可以通過提高OSR、環路階數或者量化器的比特數來實現，但是OSR的提高受限于工作帶寬，階數受限于穩定性，采用高比特的量化器則增加了ADC和DAC的設計難度。此外，還介紹了多級噪聲整形技術，它解決了穩定性的問題，卻又引入電路匹配的問題。從以上我們可以再次看到模擬電路設計的trade-off，這也正是模擬電路的魅力所在。