在約束條件下優化非線性目標函數的問題

非線性規劃是一類在約束條件下優化非線性目標函數的問題。以下是幾個常見的非線性規劃算法：

1. 罰函數法

罰函數法通過懲罰不滿足約束條件的點，將非線性規劃問題轉化為一個無約束優化問題。具體來說，定義一個罰函數 ，它在可行域內取值為0，否則為一個較大的正數。這樣，原問題可以轉化為一個帶有懲罰項的無約束優化問題，即：

其中， 是一個較大的正數。

2. 信賴域法

信賴域法通過在每次迭代中構建一個局部模型來近似原始問題，然后在局部模型上進行優化。優化完成后，比較原始問題和局部模型的表現，決定是否接受求解結果或者繼續迭代。該方法的核心是信賴域半徑的精確定義和控制。

3. 內點法

內點法通過引入一個內點路徑，使得每個迭代點都在可行域內。具體來說，引入一個懲罰因子 ，并將目標函數 中的約束條件 替換為一個懲罰項 。這樣，原問題可以轉化為一個無約束的優化問題：

然后，通過一系列迭代，將 縮小至零，從而逐步逼近原始問題。

以上是幾個常見的非線性規劃算法示例。除此之外，還有很多其他的算法，例如擬牛頓法、次梯度法、粒子群算法等等。

使用罰函數法求解非線性規劃的簡單示例

在 MATLAB 中，可以使用 fmincon 函數來求解非線性規劃問題，其中包括罰函數法。fmincon 函數的使用方法非常靈活，可以通過修改參數來指定不同的算法、約束條件等。

以下是一個使用罰函數法求解非線性規劃的簡單示例：

假設有以下優化問題：

滿足以下約束條件：

對于罰函數法，我們可以將上面的約束條件轉化為懲罰項，即：

然后將目標函數和罰函數相加，得到無約束優化問題：

其中 是一個較大的正數。

下面是 MATLAB 的代碼實現：

%定義目標函數和約束條件
f=@(x)(x(1)-1)^2+x(2)^2;
g=@(x)[x(2)-x(1);x(1)+x(2)-1];

%定義罰函數
rho=10;
penalty=@(x)max(0,-g(x))^2;

%定義總目標函數
F=@(x)f(x)+rho*penalty(x);

%定義初始點和約束條件
x0=[0;0];
A=[-11;11];
b=[0;1];

%調用fmincon函數進行優化
options=optimoptions('fmincon','Display','iter');
[x,fval,eflag,output]=fmincon(F,x0,A,b,[],[],[],[],[],options);

在上面的代碼中，首先定義了目標函數 f 和約束條件 g，然后通過罰函數法將其轉化為無約束優化問題。最后，調用 fmincon 函數來求解優化問題。

需要注意的是，使用罰函數法求解非線性規劃問題時，要根據實際情況選擇合適的懲罰系數 。過小的 可能導致解不準確，過大的 可能導致數值不穩定。

審核編輯：湯梓紅