麥克斯韋方程是怎么告訴我們波的形式的

麥克斯韋方程，是所有電磁理論的基礎，其微分形式如下圖所示。

都說麥克斯韋方程是世界上最美的公式之一，可是這幾個方程，到底能讓我們了解些什么呢？

在說這個問題之前，先來說說相量的概念。

歐拉公式告訴我們：

所以對于平面上的任一點Z，可以表示為：

所以，對于一個實正弦信號，可以用下列形式表示：

所謂使用相量表示，即:

但是，也不是什么時候，都可以用相量進行表示。

從上面公式可知，A(t)的相量形式，省去了Re{}以及e(jwt)。

那什么時候，這兩個可以省去呢？

一種情況是，大家都知道了，寫與不寫，大家都默認是有這兩項的。

也就是說，使用相量形式的前提，是：

(1) 被表示的變量是一個實數，所以不需要將Re{}寫出來

(2) 處理的系統是線性時不變系統，即變量的頻率分量是不變的，因此，不需要把e(jwt)寫出來。

所以，用相量來表示一個正弦信號時，只要寫出其幅度和相位就可以了。

不過，雖然不用寫出來，但是需要記住的是，其實這兩項是存在的。如果對A(t)進行求導的話，不能忘記還有時間的存在，即：

現在，用相量來對麥克斯韋方程中的第一個和第二個旋度方程進行處理。

為了簡化分析，假設所分析區域中的電流和電荷都為0。

類似的推導，也可以得到：

而這兩個式子，就是電磁場的波動方程，或者說是波動方程的相量形式。

波動方程是一個微分方程，這個微分方程，可將變量在時間上的二階導數與其在空間上的二階導數聯系起來。

定義波數：

在無耗的媒介中，介電常數和磁導率都為實數，因此k也為實數。

假設電場只存在于x方向，且只隨z的變化而變化。

把上面的相量形式改成正常形式后，則：

上面式子中的第一項，表示前向波，即隨著時間的增加，波沿著+z軸傳播；而第二項，表示后向波，即隨著時間的增加，波沿著-z軸傳播。

此時，相速，即波的相位在空間中傳播的速度如下式所示：

而電磁波的波長，則定義為在固定的時間點，兩個波峰或者波谷的距離。即：

因此，由麥克斯韋方程，可以得到電磁場的波動方程，對波動方程進行求解，即可以得到電場和磁場在時間和空間上的傳播形式。

審核編輯：劉清