IIR濾波器簡介（下）

1. IIR濾波器簡介（下）

1.3 雙二階IIR濾波器

在頻域中，IIR濾波器的響應由系統的傳送函數表征。換言之，傳送函數是濾波器的輸入到輸出行為的數學表達。

1.3.1 濾波器階數和級聯雙二階

IIR傳送函數表示為復頻率的多項式之比；其中分子包含系統的零點，分母包含系統的極點。傳送函數中零點和極點的數量決定了系統的濾波器階數，零點和極點的值則描述濾波器的頻率響應。

雙二階濾波器是二階濾波器，包含兩個極點和零點。高階濾波器通常是必需的，因為它們可以實現更急劇的頻率衰減，但它們對系數量化更敏感，因此有可能變得不穩定。這對于雙二階濾波器來說沒什么問題，因此高階濾波器通常被實現為一系列級聯的雙二階部分。

1.4 IIR濾波器規范

濾波器設計是將一組需求轉化為定義明確的數值算法的過程。IIR濾波器規范是根據所需的頻率響應、模擬設計和結構制定的。

1.4.1 濾波頻率響應類型

如前文所述，數字濾波器作用于輸入信號的頻率響應，以創建在特定頻率范圍內響應有增強或減弱的輸出。濾波器的常見頻率響應包括以下類型：

低通低通通濾波器可將低于指定截止頻率的頻率傳遞到輸出，同時阻止高于截止值的頻率。

高通高通濾波器可將高于指定截止頻率的頻率傳遞到輸出，同時阻止低于截止值的頻率。

帶通帶通濾波器是高通濾波器和低通濾波器的組合。介于兩個指定截止頻率之間的任何頻率都將傳遞到輸出信號，而在指定頻帶之外的頻率將被阻止。

帶阻帶阻濾波器是低通濾波器和高通濾波器的組合。介于兩個指定截止頻率之外的任何頻率都將傳遞到輸出信號，而在指定頻帶內的頻率將被阻止。

圖1. 四種頻率響應

1.4.2 模擬濾波器的類型

由于數學上的限制，不存在用于設計IIR濾波器的最佳程序。IIR濾波器遵循現有模擬濾波器設計的既定設計程序而制造。模擬濾波器算法的值經過略微調整，即可實現所需IIR濾波器的頻率和相位的設計規范。MATLAB等DSP數值軟件是計算優化啟發式的強大工具，可根據您所需的規范設計最佳IIR濾波器。

通常提供的一種規范是IIR濾波器用作基準的模擬濾波器設計。MATLAB提供了四種模擬濾波器設計方法選項，下文對每種方法進行了進一步解釋：

巴特沃斯

關鍵特性：

? 通帶或阻帶無紋波

? 通帶到阻帶頻率的衰減最不急劇

? 相位失真適度

切比雪夫I

關鍵特性：

? 通帶有紋波，阻帶無紋波

? 頻率衰減比巴特沃斯濾波器急劇

? 組延遲差

切比雪夫II（反切比雪夫）

關鍵特性：

? 通帶無紋波，阻帶有紋波

? 頻率衰減比巴特沃斯濾波器急劇，但不如切比雪夫I濾波器急劇

橢圓

關鍵特性：

? 通帶和阻帶均有紋波

? 頻率衰減最急劇

比較

下圖描述了以相同規范配置時不同模擬濾波器設計的頻率響應。注意通帶和阻帶紋波的差異以及頻率衰減的急劇程度。

圖2. 給定相同濾波器規范時模擬濾波器頻率響應的差異

1.4.3 IIR濾波器架構

如前文所述，濾波器的響應通過系統的傳送函數來表征，可以將其分解為具有以下常規形式的一系列雙二階函數：

分子包含前饋系數，分母包含反饋系數。

每個雙二階IIR濾波器的操作由以下差分方程定義：

一個雙二階IIR濾波器操作稱為級，級聯的級稱為通道。

直接2型轉置結構

基于此等式中各項的排列，存在用于實現雙二階數字濾波器的各種不同算法結構或架構。IIRFA外設實現了直接2型轉置濾波器，這是一種具有最少延遲元素的規范形式。

圖3. 級聯的級形成通道

1.5 其他DSP資源和閱讀資料

如需進一步理解DSP以及深入探討圍繞數字濾波的數學理論，請參考：

Understanding Digital Signal Processing（了解數字信號處理），作者 Richard G. Lyons

Signal Processing for Communications（通信的信號處理），作者 Paolo Prandoni 和 Martin Vetterli

審核編輯：湯梓紅