為什么復數不能夠排序？

一、前言

在任何一本講解復變的教科書中，都會提到“復數”不像實數那樣能夠排序。頭一次聽說是，都會感到一頭霧水。心想我們是可以找到一種排序的方法， 將復數安排的明明白白的。?比如可以先按照復數的實部排序， ?如果實部相同， 則接著按照虛部排序。?比如 Python 中的復數排序命名， 就是按照這個方式實現的。?實際上，也可以先按照復數的模進行排序， 接著在按照相角進行排序。?

但數學中所講到的排序， 是指在一定“數域”內的排序，?也就是在滿足元素之間特定操作之后排序不能夠產生矛盾。?在復數中定義了加法、乘法等操作。?所定義的排序還應在這些操作下不產生矛盾。

▲ 圖1.1.1 復數排序

二、排序矛盾

數學上，對于復數排序的定義需要滿足以下性質。?

1、當 a b 屬于復數，?那么它們之間的排序必須屬于這三種情況之一。

2、當 a 小于 b時，?它們都加上任意一個數字，結果的順序仍然保持。?

3、當 a 小于 b 時， c 是大于 0 的數字。?它們同時乘以 c， 結果的順序仍然保持。?

4、最后一個性質，則是任何排序方法都必須滿足的相容性。如果 a 小于 b， b 小于 c。?那么 a 小于 c。?

下面按照這四個性質來證明復數無法排序。???實際上只要證明復數中存在兩個數字，它們之間的排序無論怎么定義，都會在上面四個性質中產生矛盾。

比如，取復數中兩個數字， i 和 0。?它們之間的關系也必須滿足三種順序之一。?因為已知這是兩個不同的復數。?所以 i 與 0 的順序只有兩種。?

如果假設 i 大于 0。?根據性質三， i 乘以 i 的結果應該是大于 0 乘以 i。?根據復數運算法則，由此可以得到 負1 大于 0。請注意，到此并沒有導出矛盾， 因為我們正在討論復數的排序方法， 所以并不能夠按照實數的大小定義復數。負一大于 0 只是中間推導的結果。?下面再將 負一 乘以 負一，?便會得到下一個結論， 1 大于0。?此時便于前面的結論產生矛盾。?這說明假設 i 大于 0 不成立。

下面從 i 小于 0 開始， 借助于性質2， 兩邊同時加上 負 i， 便可以得到 負 i 大于 0，?然后在應用 性質 3，?使用負 i 乘以不等式兩邊，?根據復數四則運算法則，便得到 負1 大于 0 的結論。?這回到前面證明中的結論，?再往后推導同樣得到矛盾的結果。至此，綜合上面兩個過程， 證明復數無法排序。

▲ 圖1.1.2 矛盾的證明

總??結

本文對于在復數域內無法排序進行了討論。?這也讓我們對于數學上的排序要求有了更加全面的了解。

審核編輯 ：李倩