LTI連續系統的響應

LTI連續系統的響應

連續系統的描述：電路圖建立微分方程

1.數學模型

二階常系數線性微分方程

2.相似系統

相似系統：能用相同方程描述的系統

微分方程的模擬框圖

基本部件：

基本運算：數乘、微分、相加

基本部件：加法器、數乘器、積分器

積分器的抗干擾性比微分器好(用積分器代替微分器)

2.模擬框圖

模擬框圖：將微分方程用基本部件的相互聯接表征出來的圖，簡稱框圖。

例1 已知y’’(t) + ay’(t)+ by(t) = f(t)，畫出框圖。

解：將方程改寫為 y”(t) = f(t) –ay’(t) –by(t)

繪制步驟為：

(1)畫出兩個積分器；

(2)以最后一個積分器的輸出端為y(t)；

(3)左邊第一個積分器的輸入端就是y”(t)，也是加法器的輸出。

例2 已知y“（t） + 3y'（t）+ 2y（t） = 4f'（t） + f（t），畫框圖。

解：該方程右端含f(t)的導數，引入輔助函數畫出框圖。 設輔助函數x(t)滿足

x“（t） + 3x'（t）+ 2x（t） = f（t）

移項整理得： x”(t) = -3x’(t)-2x(t) + f(t)

根據求和器列方程

微分方程的經典解法

經典解

齊次解是對應齊次微分方程的解：

特解的函數形式與激勵的函數形式有關。

2.齊次解的常用函數形式

不同特征根所對應的齊次解

3.特解的常用函數形式

不同激勵所對應的特解

上式第一項系數C1 + Q0= 2，不能區分C1和Q0。

連續系統的初始值

結論：微分方程等號右端含有δ(t)時，僅在等號左端y(t)的最高階導數中含有δ(t)，則y(t)的次高階躍變，其余連續； 若右端不含沖激函數，則不會躍變。

零輸入響應

求解步驟

(1)設定齊次解；

(2)代入初始值，求待定系數

零狀態響應

求解步驟

(1)設定齊次解；

(2)設定特解，代入方程求解；

(3)代入初始值，求待定系數。

響應分類

固有響應和強迫響應

固有響應僅與系統本身的特性有關，而與激勵的函數形式無關。

齊次解的函數形式僅與特征方程的根有關，特征方程的根稱為系統的“固有頻率”，齊次解常稱為系統的固有響應或自由響應。

強迫響應與激勵的函數形式有關。

特解的函數形式與激勵的函數形式有關，常稱為強迫響應。

暫態響應和穩態響應

暫態響應是指響應中暫時出現的分量，隨著時間的增長，它將消失。

穩態響應是穩定的分量，若存在，通常表現為階躍函數和周期函數。 比如，電路系統中的直流穩態響應和正弦穩態響應。

Matlab求解系統的響應

求LTI系統的零狀態響應的函數lsim，其調用格式為:

y=lsim（sys， f， t）

式中，t表示計算系統響應的抽樣點向量； f是系統輸入信號，sys是LTI系統模型，用來表示微分方程。

系統模型sys要借助tf函數獲得，其調用方式為:

sys=tf（b， a）

式中，b和a分別為微分方程的右端和左端各項的系數。 比如：