動態電路的方程及其初始條件 一階電路的時域分析

01 動態電路的方程及其初始條件

電容元件、電感元件這種電壓、電流的約束關系是通過導數(或積分)表示的，稱為動態元件，或稱為儲能元件。 含有動態元件的電路被稱為動態電路。 動態電路的一個特征是當電路的結構或者元件的參數發生變化時，可改變電路的工作狀態，這種轉變往往需要一個過程，在工程上稱為過渡過程。 上述電路結構或參數變化引起的電路變化統稱為“換路”，并認為換路是在t=0時刻進行的。 為了敘述方便，把換路前的最終時刻記為把換路后的最初時刻記為換路經歷的時間為到。 分析動態電路的過渡過程的方法之一是：根據KCL、KVL和支路的VCR建立描述電路的方程，這類方程是以時間為自變量的線性常微分方程，然后求解常微分方程，從而得到電路所求變量(電壓或電流)。 此類方法稱為經典法，這是一種在時間域中進行的分析方法。

對于線性電容，在任意時刻t時，它的電荷、電壓與電流的關系為：

式中q,uc和ic分別為電容的電荷、電壓和電流。 令，則得

如果在換路前后，即到的瞬間，電流為有限值，上式中右方的積分項將為零，此時電容上的電荷和電壓就不會發生躍變，即

即在換路的瞬間，帶電電容可視為一個電壓值為U0的電壓源。 同理，對于不帶電荷的電容，在換路瞬間電容相當于短路。

線性電感的磁通鏈、電流和電壓的關系為

令

，則得

如果在換路前后，即到

的瞬間，電壓為有限值，上式中右方的積分項將為零，此時電感中的磁通鏈和電流不發生躍變，即

電感在換路瞬間可視為一個電流值為的電流源。 同理對于電流為零的電感，此電感在換路瞬間相當于開路。

02 一階電路零輸入響應

動態電路中無外施激勵電源，僅由動態元件初始儲能所產生的響應，稱為動態電路的零輸入響應。

03 一階電路零狀態響應

零狀態響應就是電路在零初始狀態下(動態元件初始儲能為零)由外施激勵所引起的響應。

04 一階電路的全響應

一個非零初始狀態的一階電路受到激勵時，電路的響應稱為一階電路的全響應。 在下圖所示電路為已充電的電容經過電阻接到直流電壓源Us。 設電容原有電壓uc=U0，開關閉合后，根據KVL有

即有

初始條件

方程的通解

取換路后達到穩定狀態的電容電壓為特解，則

為上述微分方程對應的齊次方程的通解

其中

為電路的時間常數，所以有

得積分常數為

所以電容電壓

這就是電容電壓在t>0時的全響應。 上式可以改寫為

即全響應 =(零輸入響應)+(零狀態響應)全響應 = (強制分量)+(自由分量)全響應 =
(穩態分量)+(瞬態分量)全響應是由初始值、特解和時間常數三個要素決定的。

在直流電源激勵下，若初始值為，特解為穩態解，時間常數為τ，則全響應

只需要知道這三個要素，則可以根據上式直接寫出直流激勵下一階電路的全響應，這種方法稱為三要素法。 如果電路中僅含一個儲能元件(L或C)，電路的其他部分有電阻和獨立電源或受控源連接而成，這種電路仍是一階電路。 求解這類電路時，可以把儲能元件以外的部分，使用戴維寧定理或者諾頓定理進行等效變換，然后求得儲能元件上的電壓和電流。 如果還要求其他支路上的電壓和電流，則可以按照變換前的原電路進行。