相機標定之四個坐標系之間的變換關系

世界坐標系，相機坐標系，圖像物理坐標系，像素坐標系之間的關系：

首先看下幾個坐標系在放在一塊的樣子：

1：世界坐標系：根據情況而定，可以表示任何物體，此時是由于相機而引入的。單位m。

2：相機坐標系：以攝像機光心為原點（在針孔模型中也就是針孔為關心），z軸與光軸重合也就是z軸指向相機的前方（也就是與成像平面垂直），x軸與y軸的正方向與物體坐標系平行，其中上圖中的f為攝像機的焦距。單位m

3：圖像物理坐標系（也叫平面坐標系）：用物理單位表示像素的位置，坐標原點為攝像機光軸與圖像物理坐標系的交點位置。坐標系為圖上o-xy。單位是mm。單位毫米的原因是此時由于相機內部的CCD傳感器是很小的，比如8mm x 6mm。但是最后圖像照片是也像素為單位比如640x480.這就涉及到了圖像物理坐標系與像素坐標系的變換了。下面的像素坐標系將會講到。

4：像素坐標系：以像素為單位，坐標原點在左上角。這也是一些opencv，OpenGL等庫的坐標原點選在左上角的原因。當然明顯看出CCD傳感器以mm單位到像素中間有轉換的。舉個例子，CCD傳感上上面的8mm x 6mm，轉換到像素大小是640x480. 假如dx表示像素坐標系中每個像素的物理大小就是1/80. 也就是說毫米與像素點的之間關系是piexl/mm.

好了四個坐標系都解釋完了，接下來就說下各個坐標系中間的變換關系吧。

一：世界坐標到相機坐標系

物體之間的坐標系變換都可以表示坐標系的旋轉變換加上平移變換，則世界坐標系到相機坐標系的轉換關系也是如此。繞著不同的軸旋轉不同的角度得到不同的旋轉矩陣。如下：

那么世界坐標系到相機坐標系的變換如下：

二：相機坐標系到圖像物理坐標系

從相機坐標系到圖像坐標系，屬于透視投影關系，從3D轉換到2D。也可以看成是針孔模型的改變模型。滿足三角形的相似定理。

三：圖像物理坐標系到像素坐標系。

此時與前面的坐標系變換不同，此時沒有旋轉變換，但是坐標原點位置不一致，大小不一致，則設計伸縮變換及平移變換。

綜上所述，大家可以看出四個坐標系之間存在著下述關系 ( 矩陣依次左乘 )

其中相機的內參和外參可以通過張正友標定獲取。通過最終的轉換關系來看，一個三維中的坐標點，的確可以在圖像中找到一個對應的像素點，但是反過來，通過圖像中的一個點找到它在三維中對應的點就很成了一個問題，因為我們并不知道等式左邊的Zc的值。

審核編輯：湯梓紅