深入理解PID的微分、積分電路

很多朋友覺得PID是遙不可及，很神秘，很高大上的一種控制，對其控制原理也很模糊，只知曉概念性的層面，知其然不知其所以然，那么本文從另類視角來探究微分、積分電路的本質，意在幫助理解PID的控制原理。

(PID：P表示比例控制; I表示積分控制; D表示微分控制)

在認清微分、積分電路之前，我們都知道電容的特性：電容的電流超前電壓相位90°，很多教材都這么描述，讓人很費解，其本質又是什么呢?

電容的本質

要徹底掌握微分、積分電路或PID控制思路，首先得了解電容。

電容就是裝載電荷的容器，從微觀角度看，當電荷流入容器時，隨著時間的變化極間電場逐漸增大。

以圖1為例：

充電開始時Uc=0V，壓差△U=Ur=Ui，此刻容器內無電荷，也就無電場排斥流入的電荷; 所以電流Ic最大，表現為容抗最小，近似短路;

當Uc上升，壓差△U開始減小，該過程形成電場，容器開始排斥流入的電荷; 電流Ic逐漸減小，表現為容抗逐漸增大;

當Uc=Ui，壓差△U=Ur=0V，此刻容器內電場最強，以最大排斥力阻止流入的電荷; 電流Ic=0，表現為容抗最大，近似開路。

圖1 電容容器充電模型

當電荷流出容器時，隨著時間的變化極間電場逐漸減小; 該放電過程的電容可看成是一個內阻為0的電壓源，以圖2為例(移除電源并接地)：

放電開始時Uc=Ui，此刻容器內充滿電荷，因此電場最強，而電阻不變，則放電電流Ic最大(方向與充電相反)，電阻兩端的電壓Ur=Uc，則Ur=Ui;

當Uc下降，該過程電場減弱，放電電流Ic逐漸減小，Ur=Uc也逐漸減小;

放電耗盡Uc=0V，此刻容器內無電荷，因此無電場，Ur=0V。

圖2 電容容器放電模型

電容就好比水桶一樣，流入的水流無論是大還是小，水位的變化一定是從最低位開始連續上升的; 而電容內的電荷也是逐漸從0開始積累起來的，積累過程與自然常數e有關系，這里就不深入討論了。

圖3就是電容充放電的電壓-電流曲線。

圖3 電容充放電，電壓-電流曲線

聯系前面的分析，可總結為：

電容電壓不能突變，電流可突變(教材的定義是電容的電流與電壓的變化率成正比);

充電過程中的電容可等效成一個可變電阻，放電過程中的電容可等效成一個電壓源;

電容電流反映的是單位時間內流動的電荷量，電容電壓(或電場)反映的是電荷量的多少。 通俗的理解就是流動的電荷才會導致電荷量多少的變化(與①相吻合); 用數學語言描述則是電容的電流超前電壓相位90°;

電容充放電速度與電容和電阻大小有關。

微分電路和積分電路

對電容充分了解之后，首先我們先來認識最簡單的分壓電路，如圖4根據歐姆定律VCC=2.5V，該純阻性的分壓電路就是比例運算電路的雛形。

圖4 分壓電路

如圖5，我們把R2換成104(0.1μF)電容，C1電容充滿電后近似開路，VCC=5V; 該電路就是積分運算電路的雛形。 那么把5V改成信號源就構成了低通濾波電路。

圖5 積分電路

如圖6為上圖的充電波形，紅色表示5V的波形，藍色表示VCC的波形，因為電容充電時的容抗由小變大直至開路，所以分壓VCC也由小變大直至為5V。 而且電容充電需要一定的時間，導致VCC的波形要緩一些。 (該5V是開關電源上電軟啟動時的輸出波形)

圖6 積分電路波形

把圖4圖5組合就得到圖7的電路，這就是我們經常使用的PI電路(比例積分)，在參考電壓或分壓電路里很常見，加電容的目的就是增加延時性，穩定VCC的電壓不受5V波動而波動，VCC=2.5V。

圖7 PI電路

把圖5中電容和電阻的位置交換一下得到如圖8的電路，C1電容充滿電后近似開路，VCC=0V; 該電路就是微分運算電路的雛形。 那么把5V改成信號源就構成了高通濾波電路。

圖8 微分電路

如圖9為上圖的充電波形，紅色表示5V的波形，藍色表示VCC的波形，因為電容充電時的容抗由小變大直至開路，所以分壓VCC由大變小直至為0V。 也就是紅色波形從0開始跳變一瞬間，VCC已經是最大值，所以微分有超前預判的性質(反映的是輸入信號的變化率)。

圖9 微分電路波形

如圖10為(反相)比例運算電路。

圖10 比例運算電路

如圖11，Uo與Ui成線性關系。

圖11 比例運算電路波形

如圖12、圖13為微分運算電路的充放電過程：

充電過程的電容C1可等效成一個可變電阻，C1開始充電時的容抗為0，電壓不可突變則電壓為0，運放-輸入端得到的分壓為正最大峰值，于是Uo為運放的負最大峰值，隨著電容充滿電，U0逐漸變為0。

圖12 微分運算電路-充電

放電過程的電容C1可等效成一個電壓源，且電壓不可突變，此時電流反向為最大值，R1電壓瞬間反向也為最大值，運放-輸入端得到的分壓則為負最大峰值，于是Uo為運放的正最大峰值，隨著電容放完電，U0逐漸變為0。

圖13 微分運算電路-放電

如圖14為微分運算電路的輸入輸出波形，聯系前面的分析結果，則Uo反映的是Ui的變化率，這樣就達到了預判超前的效果。

圖14 微分運算電路波形

如圖15為微分運算仿真電路，為了防止運放出現飽和，必須限制輸入電流，實際使用時需要在電容C1輸入端串聯一個小電阻R2。 串聯電阻后的電路已經不是理想微分運算電路了，但是只要輸入信號周期大于2倍RC常數，可以近似為微分運算電路。

圖15 微分運算仿真電路

如圖16為微分運算仿真電路波形，其中IN-為運放-輸入端的波形。

圖16 微分運算仿真電路波形

如圖17、圖18為積分運算電路的充放電過程：

充電過程的電容C1可等效成一個可變電阻，C1開始充電時的容抗為0，電壓不可突變則電壓為0，運放-輸入端得到的分壓為0，于是Uo為0，隨著電容充滿電，運放-輸入端得到的分壓為正最大值，U0為運放的負最大峰值。

圖15 積分運算電路-充電

放電過程的電容C1可等效成一個電壓源，且電壓不可突變，運放-輸入端得到的分壓也不可突變，隨著電容放完電，于是Uo由負最大峰值逐漸變為0。

圖16 積分運算電路-放電

如圖17為積分運算電路的輸入輸出波形，聯系前面的分析結果，則Uo反映的是Ui的積累過程，這樣就達到了延遲穩定的效果。

圖17 積分運算電路波形

如圖18為積分運算仿真電路，為了防止運放出現飽和，實際使用時需要在電容C2兩端并聯一個電阻R3。 并聯電阻后的電路已經不是理想積分運算電路了，但是只要輸入信號周期大于2倍RC常數，可以近似為積分運算電路。

圖18 積分運算仿真電路

如圖19為積分運算仿真電路波形，其中IN-為運放-輸入端的波形。

圖19 積分運算仿真電路波形

要點：

微分、積分運算電路利用了電容充放電時其電壓不可突變的特性達到調節輸出的目的，對變化的輸入信號有意義;

微分D控制有超前預判的特性，積分I控制有延遲穩定的特性，在PID調節速度上，微分D控制>比例P控制>積分I控制。

審核編輯：湯梓紅