如何使用周期性空間頻率表面來建模旋轉對稱曲面的不規則度？

本文我們介紹了如何使用周期性空間頻率表面來建模旋轉對稱曲面的不規則度(例如由于金剛石車削而產生的不規則度)。 具體方法為使用專用的自定義序列模式表面DLL（常規偶次非球面結合Zernike項與矢高周期變化得到）建模該中空間頻率表面。我們將使用中頻面周期性不規則度對非球面單透鏡和一個天塞物鏡 (Tessar Objective) 進行表面不規則度的評估和公差分析。

簡介

對于表面不規則度的公差分析是鏡頭設計過程中保證生產加工得到的實際光學元件能夠達到預期性能的重要環節?？赡芤鸸鈱W性能變化的因素包括但不限于光學表面的加工誤差、所用模具的加工誤差、注塑造成的不規則度、光學元件與傳感器間的校準誤差、光學表面的粗糙度誤差以及厚度誤差。

將這些不規則度參數化將有利于公差分析，公差操作數 TEZI 就是一個很好的例子。TEZI 操作數使用 Zernike 多項式來表示不規則度，一些低頻表面誤差可以用該參數化公式來評價公差。并且非常高頻的表面誤差將引起光束產生大角度散射，光學系統中可以將這部分作為能量損耗忽略不計。然而，介于這兩者之間的中頻表面誤差，參數化建模就存在一些難度，不僅在于難以使用多項式進行表示，而且在于不能作為系統損耗而忽略。

本文我們以以金剛石車削為例，解釋為什么需要一個中頻誤差的分析模型。我們定義了一個表達式來建模這種不規則度，并在示例中使用點列圖和公差分析進行展示。最后，說明使用這種模型時應注意的限制條件。

光學制造

在光學表面制造時，通常用表面不規則度或RMS誤差的形式來衡量一個表面與一個完美標準表面之間的差異。例如，在632.8 nm的He-Ne激光測試下，一個成品透鏡或反射鏡的表面不規則度大概為0.1λRMS。再以定制透鏡為例，如零位檢驗中使用的透鏡，表面不規則度大概為0.01 λRMS。

如果空間頻率高，類似于表面粗糙度，我們可以將其考慮為光學系統的損耗

如果空間頻率低，對于低頻部分我們可以用如Zernike多項式等方法表示其形狀變化

當空間頻率高至無法使用多項式輕松定義（孔徑中包含10個周期以上[2]）或空間頻率低至其造成的影響不能忽略時（相對于波長的波紋周期大于從給定的表面到像面光路的1/10[2,3]），我們統稱為中頻部分。

這些中頻誤差可能導致系統分辨率降低、產生雜散光、降低照明系統均勻性等。因此在繪制圖紙或訂購零件之前，這些誤差應體現在光學元件公差分析中。如果是專門定制的零件，與制造商結合空間頻率詳細討論表面不規則度形式是至關重要的，制造商可能會提供類似零件的性能數據或者提供一個最接近的不規則度結果預測。

通常情況下，不規則度的形式是未知的。如果是常規拋光，那么假定不規則度會引起低階像差（如光焦度和像散）比較保險，并可以在OpticStudio中使用多種不同方法模擬這種不規則度。然而，與傳統的表面加工不同，金剛石車削可以作為一個特別的案列，需要預測零件中的中頻至高頻旋轉對稱波紋。

金剛石車削是以金剛石為切削工具的車削方法，廣泛應用于從晶體、金屬、丙烯酸等材料的高質量非球面光學元件加工中，塑料光學元件也通常使用金剛石車削加工得到的模具來注塑成型。它是一種用鑲金剛石刀頭的旋轉車刀對精密元件進行機械加工的過程，根據加工工藝的不同可以產生從P-V深度為0.1微米的中高頻誤差或幾個微米的低頻誤差。

常見相關術語為“單點金剛石車削 (SPDT) ”。金剛石車削可以獲得高的反射亮度，因此不需要額外的拋光或拋光。然而，金剛石刀頭的軌跡會在零件局部留下一定頻率的波紋。

中空間頻率表面可能的表達式

在OpticStudio或光學系統中，有多種方法可能用于表達不規則度：

Zernike項模擬表面不規則度

網格數據表示表面不規則度

利用擴展多項式或切比雪夫多項式得到的三維誤差對加工表面的輪廓數據進行擬合

擴展奇次非球面可以擬合旋轉對稱測量數據

多項式的參數擬合在高頻上往往表現不佳，因為表面上波紋的數量取決于參數方程中多項式的數量。隨著高頻誤差的增加，僅依靠多項式擬合可能會變得不準確。此外，當使用過多多項式或者網格矢高點時，將不存在一個像蒙特卡羅那樣的實用公差統計分析方法來分析它們可能包含的各種不規則度。

我們可以從加工過程中預測金剛石車削引起的中頻旋轉對稱不規則度[3]。本文我們提出一種將多個表面組合起來，以形成一個用戶自定義表面的方法，來完成諸如公差分析這類需要改變參數的任務。

表達式如下所示：

?

上述表達式包含三個部分，從左至右分別是：偶次非球面部分，Zernike部分，周期矢高部分。其中，Zernike部分與Zernike Standard矢高面型完全相同，使用的是Zernike多項式。

Zernike多項式為單位圓環上一系列正交的多項式。周期性部分是以一個固定振幅和頻率疊加到表面上的矢高值，其形式與OpticStudio內置的“us_eaperiodic.dll”相同。

中頻表達式可以看做是Zernike Standard矢高疊加上一個周期性變化的一種變體，其中：

z是表面矢高

r是以透鏡單位為單位的極坐標矢徑長度

c是曲率

k是圓錐系數

αi第i個非球面的稀疏

N是Zernike 系數的個數

Ai第 i個Zernike Standard多項式的系數

ρ是光線歸一化徑向坐標

φ是光線角向坐標

A是周期項振幅

ω0是周期項頻率（單位是長度單位的倒數）

φ0是相位偏移，如鏡頭數據編輯器中采用角度制輸入，但是計算時轉換為弧度制

中空間頻率表面的實現方法

為了描述中頻表面的建模應用，我們將使用附件中的"SpatialFrequency_implementation.zar"文件作為示例，或者也可以提取其中的“us zernike+msf.dll“文件，并將其保存在{Zemax}documentsemaxDLLSurfaces中的文檔文件夾中。 讓我們來查看中頻表面的設置：首先，像其他所有面型一樣，我們需要打開表面屬性，將表面類型改為用戶自定義，并選擇 “usu zernike+msf.dll"。



DLL加載到表面上后，我們就可以看到我們所需的參數。如下圖所示，非球面項以16階結束，然后是周期性徑向矢高的三個參數 A、w0、phi0。Zernike參數疊加周期性矢高，就完成了用戶定義表面的定義。



由于我們的用戶定義曲面“us_zernike+msf.dll”是從Zernike Standard 矢高面型和另一個用戶定義曲面“us_eaperiodic.dll”派生的，因此我們可以先研究一下它們，再比較一下我們的新面型有什么不同。

首先，讓我們比較一下"us_eaperiodic.dll"和我們的中頻面 "us_zernike+msf.dll"，讓二者使用相同的設置，具體采用：

振幅 A = 0.01mm

頻率 w0 =1 cycle/mm

相位 φ0 = 0.01 degrees

我們看到，左側的中頻曲面“us_zernike+msf.dll”（以藍色突出顯示），右側的周期曲面“us_eaperiodic.dll”（以橙色突出顯示）具有相同的曲面矢高輪廓。

同樣，讓我們對比一下 Zernike Standard 矢高曲面和我們的中頻面“us_Zernike+msf.dll”有何異同。我們將使兩個曲面在其設置中完全相同，并檢查與 Zernike 項的一致性。

具體設置為：

?Zernike X 偏心 = 0.2

?Zernike Y 偏心 = -0.1

?Zernike 1 = 1.00E-003

?Zernike 2 = -4.00E-003

?Zernike 3 = -2.00E-003

?Zernike 4 = 1.00E-003

?Zernike 5 = 5.00E-004

?Zernike 6 = 1.00E-004

?Zernike 7 = 2.00E-003

?Zernike 8 = 1.00E-003

?Zernike 9 = -5.00E-003

?Zernike 10 = 1.00E-003

?

我們看到，左側的中頻曲面“us_zernike+msf.dll”（以藍色突出顯示）和右側的 Zernike Standard 矢高曲面（以橙色突出顯示）具有相同的曲面矢高輪廓。

所以，我們可以放心大膽地假設：中頻曲面同時具有周期曲面和Zernike多項式的性質，當然還有標準的非球面輪廓。

下面顯示了具有Zernike多項式不規則度和周期性波紋狀不規則度的曲面的示例，以供說明。



編寫和編譯DLL等內容不在本文的討論范圍之內，但您可以參閱 “如何編寫用戶自定義DLL”文章獲取更多信息。

簡單周期面“us_eaperiodic.dll”及其源代碼可以在文件夾{Zemax}DocumentsemaxDLLSurfaces中找到，這是OpticsStudio安裝時就自帶的表面。

應用示例 1: 非球面單透鏡點列圖

此示例用于觀察中頻曲面的點列圖，我們將使用本文附件中的“spatial frequency_spot diagrams.zar”文件。



設計目標為物高 5mm，物距 100mm，后焦 160mm的非球面透鏡，分別采用三個表面： 1.一個標準面 2.一個 Zernike Standard 矢高面 3.使用 "us_zernike+msf.dll" 建立的中頻面。

其中Zernike Standard 矢高面和中頻面參數相同，具體為：

?振幅 = 5.00E-004mm

?頻率 w0 =1 cycle/mm

?相位 φ0 = 0.00 degrees

?Zernike X 偏心 = 0.2

?Zernike Y 偏心= -0.1

?Zernike 1 = 1.00E-003

?Zernike 2 = -4.00E-003

?Zernike 3 = -2.00E-003

?Zernike 4 = 1.00E-003

?Zernike 5 = 5.00E-004

?Zernike 6 = 1.00E-004

?Zernike 7 = 2.00E-003

?Zernike 8 = 1.00E-003

?Zernike 9 = -5.00E-003

?Zernike 10 = 1.00E-003

從光線出射端測試，為了方便觀測，中頻面放在距離像面40 mm的位置：

?

我們可以看到非常經典的旋轉對稱的標準面光斑輪廓。Zernike Standard 矢高面由于Zernike多項式項的存在，顯示出輕微變形的光斑輪廓。中頻曲面具有相同的Zernike多項式參數，此外還有周期參數，表現為光斑中的圓環。

在像面，我們用下面的結構矩陣點列圖 (Configuration Matrix Spot Diagram) 來說明這一點。結構1為標準面，結構2為 Zernike Standard 矢高面，結構3為中頻曲面。



標準表面沒有不規則度，它也將作為我們的參考標準。Zernike Standard 矢高面稍微有些變形。

中頻曲面大體上與 Zernike Standard 矢高面相同，但由于曲面上形成的波紋形狀，產生了相對于 Zernike 光斑輪廓不同的周圍散射光線。

我們可以預期這樣的鏡頭制造時會有部分鏡頭會因光線改變了預定路徑而不符合設計的表面規定。

應用示例 2: 天塞物鏡公差分析

此示例用于觀察天塞物鏡中頻表面的公差，我們將使用文章附件中的“spacealfrequency_tol.zar”文件。

我們使用的是Paul Rudolph (USP721240)[4] 的經典天塞鏡頭設計，系統的第一個表面上為中空間頻率表面（橙色突出顯示）。

?

以下圖所示的參數設置公差向導用于公差分析：



在OpticStudio中，TEZI公差操作數允許對具有軸上孔徑的標準面、非球面或環形面表面的不規則性進行自動公差擾動，其他表面類型則不允許使用TEZI。

但我們可以仍使用TPAR來擾動曲面的參數，多邊形物體和CAD文件（如STEP和IGES文件）則無法進行擾動。 設置參數為：

振幅= 5.00E-004mm

頻率w0=1 cycle/mm

相位φ0= 0.00degrees

Zernike X偏心 = 0.2

Zernike Y偏心 = -0.1

Zernike 1 =1.00E-003

Zernike 2 = -4.00E-003

Zernike 3 = -2.00E-003

Zernike 4 =1.00E-003

Zernike 5 = 5.00E-004

Zernike 6 =1.00E-004

Zernike 7 = 2.00E-003

Zernike 8 =1.00E-003

Zernike 9 = -5.00E-003

Zernike 10 =1.00E-003

這些參數表示Zernike項在整個表面上具有約5微米的RMS誤差，周期項振幅約為0.5微米，周期為1周期/毫米，或者說在整個表面有20個周期。

在進行公差分析之前，我們需要對公差參數進行一些調整。首先，由于我們的用戶定義的中頻“us_zernike+msf.dll”曲面不是TEZI支持的曲面類型之一，所以必須刪除曲面1的操作數，并將其替換為TPAR。



舉例來說，TPAR(1,9)指表面1的第9個參數（振幅擾動）。同理，TPAR(1,10)表示表面1的第10個參數（周期擾動）。

TPAR(1,16)到TPAR(1,25)是中頻曲面的Zernike項，如編輯器中所示，名義值為零或非常小，并且隨著蒙特卡羅分析的每次迭代而增加。

靈敏度分析表明，上述TPAR(1,9)是影響最嚴重的因素之一，說明表面波紋狀不規則度的幅度越大，系統的性能下降越大。

我們還可以看到基于平方根和的均方根光斑半徑預估值。



以RMS光斑半徑為標準，優化后焦長度，蒙特卡羅循環1000次。



附件中提供的“MC_BEST.ZMX”和“MC_WORST.ZMX”可以用來檢查。 我們可能會碰到獲得性能較差結果的情況。

所以，這要求我們的公差參數必須設置為合理的值，或者憑借經驗得出的更好的參數方案。制造商也可能提供類似零件的性能表現信息，或者幫助預測最壞的結果，在確定設計方案前，這些信息是鏡頭設計過程中的關鍵。

注意事項

大部分面型都考慮了掠入射的情況，但是中頻面型的周期部分沒有考慮掠入射，所以有些情況可能無法提供準確的結果，比如一種廣角物鏡的第一個表面。此DLL將不適用于這種情況。

對于從高折射率材料到低折射率材料的表面，波紋表面上可能會發生全內反射 (TIR)，從而使光線追跡停止。

周期非常小的不規則度（達到波長的大小量級時）計算可能不準確，因為該表面將無法考慮衍射效應。

對于模壓塑料光學零件，形狀上的根切 (undercut)是可以進行光線追跡的，但并不實際。

審核編輯：劉清