什么是齒輪修形？

齒輪修形可以極大地提高傳動精度，并增加齒輪強度。廣義上的齒輪修形有許多類別（齒端修形、齒頂修形、齒根修形、變位、修改壓力角），本文將分享答主在精密傳動設計中，關于齒輪修形的心得。

（以下將『輸出扭矩波動率小』作為『傳動精度高』的唯一指標）

1. 齒『端』修形（齒向修形）

齒『端』修形是最常見（最容易加工）的修形方式，通常是為了幫助裝配，和機械設計中多數倒角的作用是一樣的，但其實對傳動精度和齒輪強度都有影響（這部分內容很多，答主會寫在之后的回答中）。

2. 齒『頂』修形（齒頂高系數）

齒『頂』修形是所有修形方式中，對傳動精度影響（提高）最大的。 我們希望齒輪嚙合線是這的形狀：

紅色是嚙合線（理想的）

但其實是這樣的：

紅色是嚙合線（實際的），嚙合線只有一部分是“正確”的。

因為標準齒形中，齒頂被“削”去了一部分，所以漸開線是不完整的，導致主齒輪的齒頂和副齒輪的齒面（從截面上看）是先由點-線接觸，再過渡到線-線接觸：

上圖的放大版

如果齒頂少“削”一點（齒頂高系數從 1 提高至 1.3，相應地，齒根高系數從 1.25 提高至 1.4），漸開線會變得更完整，嚙合線也變得從 1.25 提高至 1.4、），漸開線會變得更完整，嚙合線也變得更接近理想的形狀：

嚙合線“正確部分”變長了、“不正確部分”變短了。

但并不是“削”得越少，傳動精度越高，因為齒頂的材料厚度小、應變大，因此在嚙合的過程中，漸開線越靠近齒根的部分，嚙合精度越高；漸開線越靠近齒頂的部分，嚙合精度越低。不同場景中（主要影響因素是額定扭矩、齒輪模數、齒數、壓力角），傳動精度最高的齒頂高系數是不同的。 齒輪副參數：基于 ISO 53:1998輪廓A 齒形、1 模 24 齒、20 度壓力角、厚度 7 mm、10 Nm 輸入扭矩、4775 RPM 輸入轉速、5 kW 輸入功率、齒根高系數 1.4、無變位、無其他修形、中心矩公差為 0、齒厚公差/背隙/齒距誤差為 0、無摩擦。此時扭矩波動僅受材料模量和齒形影響。若齒頂高系數 為 1，輸出扭矩曲線：

扭矩波動范圍為（+0.03，-0.15），波峰在 C 點左側、波谷在 C 點右側。

若齒頂高系數 為 1.2：

扭矩波動范圍為（+0.02，-0.12），波峰在 C 點左側、波谷在 C 點右側。

若齒頂高系數 為 1.4：

輸出扭矩波動范圍為（+0.01，-0.1），波谷在 C 點左側、波峰在 C 點右側。

這個例子是（容許范圍內）齒頂高系數越大、傳動精度越高。 文中提到的0.5 模 48 齒，（例子中的設定下）傳動精度最高的齒頂高系數是 1。齒頂高系數是非?！弘y搞』的一個參數，調節它時應當如履薄冰、慎小謹微，多一絲則因齒頂應變而導致精度下降、少一絲則因嚙合線“正確”部分過短而導致精度下降。通過增減齒頂高系數，還可以改變輸出扭矩曲線波峰和波谷的位置，上例中，齒頂高系數小于大約 1.3 時，波峰在 C 點左、波谷在 C 點右；大于大約 1.3 時，波谷在 C 點左、波峰在C 點右（C 點為零滑動點）。這個特性可以被用來進一步提高傳動精度。 上文中輸出扭矩曲線沒有計算摩擦力。摩擦系數 0.1，齒頂高系數為 1.3 時，摩擦力導致的扭矩損耗曲線：

C 點處有一個波峰、C 點左右各有一個波谷，W 形曲線。

這個曲線的形狀受很多因素（模數、壓力角、齒頂高度...）影響，上圖是一個比較典型的形狀（W 形曲線，此外還有 V 形曲線比較常見，W 形的傳動精度遠高于 V 形）。

可以通過對齒頂高系數非常細微地調整，使得無摩擦時的扭矩輸出曲線的波峰在 C 點處，讓材料模量和齒形導致的扭矩波動，與摩擦力導致的扭矩波動，部分地相互抵消，更進一步提高傳動精度（但這個方法并不總是管用）。齒數偏少時（例如 1模 24 齒）不容易調到理想的結果，這也是精密傳動偏愛小模數、高齒數的原因之一。

3. 齒『頂』修形（齒頂倒角/倒圓）

因為機加工誤差（毛刺、崩邊...），以及齒輪嚙合時是先“點-線接觸”，齒頂角很容易損壞，因此需要設計倒角/倒圓。倒角是最簡單（最容易加工）的方式，但對傳動精度只有負面作用（會減少嚙合線“正確”部分的長度）：

0.15 mm、45 度倒角。

倒圓是最優的方式，甚至能極大地提高傳動精度：

0.2 mm 倒圓

倒圓更接近漸開線的形狀，并使得嚙合時（從截面上看）一開始就是線-線接觸。倒圓會減少嚙合線“正確部分”的長度，因此在倒圓的同時，要增加齒頂高度。齒輪副參數：基于 ISO 53:1998輪廓A 齒形、0.5 模 48 齒（1 模 24 齒不容易調參）、19.8 度壓力角（微調了一下，便于其他參數的調參）、厚度 7 mm、10 Nm 輸入扭矩、4775 RPM 輸入轉速、5 kW 輸入功率、齒根高系數 1.4、無變位、無其他修形、中心矩公差為 0、齒厚公差/背隙/齒距誤差為 0、無摩擦。 （下列選取的都是該倒圓半徑下傳動精度最高的齒根高系數）此時，齒頂倒圓最大為 0.2157 mm（齒頂切圓），齒根高系數為 1.2402：

齒形

扭矩波動范圍為（+0.035，-0.035）

齒頂倒圓 0.18 mm，齒根高系數 1.23：

齒形

扭矩波動范圍為（+0.0050，-0.0075）

齒頂倒圓 0.16 mm，齒根高系數 1.21：

齒形

扭矩波動范圍為（+0.005，-0.005）

齒頂倒圓 0.14 mm，齒根高系數 1.19：

齒形

扭矩波動范圍為（+0.005，-0.005）

由上可見，齒頂倒圓能將（無加工誤差、無摩擦的理想條件下的）輸出扭矩波動從（+0.035，-0.035）降低至（+0.005，-0.005），即波動率從 0.7% 降低至 0.1%，甚至低于摩擦力導致的扭矩波動（0.2% 左右），傳動精度提高了 7 倍。觀察不同倒圓半徑下，輸出扭矩曲線的變化規律（倒圓半徑越小，則曲線越趨近于波峰在 C 點左側、波谷在 C 點右側；倒圓半徑越大，則曲線越趨近于波谷在 C 點左側、波峰在 C 點右側），可以發現，倒圓半徑為 0.15 mm 左右時，解的結果是最穩定的，即 0.15 mm 是最優倒圓半徑。

4. 齒『根』修形（齒根『圓角』半徑）

（容許范圍內）齒根『圓角』半徑越大則齒根強度越高，并且對傳動精度幾乎沒（非常非常?。┯绊?，可以直接取最大容許（不發生干涉）的齒根『圓角』半徑，“膽小”的朋友也可以使用保守值『根圓角半徑系數 0.45（DIN 867:1986 以及一些論文推薦參考的數值）』。齒輪副參數：20 度壓力角、厚度 5 mm（此處應該取 7 mm，答主做圖表時疏忽了，因此下文中齒根安全系數偏低、使用壽命偏低，但不影響結論的正確性）、無修形、無變位，10 Nm 輸入扭矩、4775 RPM 輸入轉速、5 kW 輸入功率、中心矩公差為 0、齒厚公差/背隙/齒距誤差為 0、無摩擦』，齒根圓角半徑系數為 0.38（ISO 53:1998輪廓A 齒形規定的）。未調整齒根圓半徑（齒根圓角半徑系數 0.380）：

齒形（齒根圓角半徑系數 0.380）

齒根區域應力（齒根圓角半徑系數 0.380）

齒根安全系數（齒根圓角半徑系數 0.380）

輸出扭矩曲線（齒根圓角半徑系數 0.380）

將齒根圓半徑系數增至 0.471（本應設定為 0.45，答主做圖表時疏忽了）：

齒形（齒根圓角半徑 0.471）

齒根區域應力（齒根圓角半徑系數 0.471）

齒根安全系數（齒根圓角半徑系數 0.471）

輸出扭矩曲線（齒根圓角半徑系數 0.471）

5. 齒『根』修形（齒根『圓』半徑）

減小齒根『圓』半徑，會增大齒根應力，同時略微提高傳動精度，對于 20CrMnTi（精密齒輪鋼，屈服極限 850 MPa，通常認為齒根應力不超過 500 MPa 時，齒根擁有無限強度），只有齒根應力高于 600 MPa 左右時，才能達到提高傳動精度的效果，『減小齒根『圓』半徑』和『減小齒厚』提高傳動精度的機理都是如此，因此不應使用這種方式提高傳動精度，否則齒輪壽命（按照齒根安全系數預測）將不超過 100 小時。

6.變位

精密傳動齒輪不會考慮變位，變位有三大作用：

實現任意中心距。如 1 模齒輪實現 77.77 mm 這樣的中心距。

提高重合度。直齒輪的重合度接近 2 或 3 時，噪音會有極大降低。部分教材提及重合度有助于提高傳動平穩性，但對于高精度齒輪（背縫小于 10 arcmin，即齒厚誤差 0.01 mm 左右）而言，重合度對傳動平穩性基本沒有促進作用。

減小滑動率（滑動比/比滑）。主要作用是控制能量損耗（齒面發熱）。

精密傳動并不需要以上三個特性中的任何一個，變位齒輪還會對齒輪設計調參帶來極大的不便（兩個齒輪分開調參，工作量大了很多），因此精密傳動普遍不使用變位齒輪。

8. 『至高』傳動精度 （無加工誤差、無摩擦下）0.1% 扭矩波動率，仍然還不是能達到的最高傳動精度，更進一步地提高傳動精度，需要考慮降低摩擦力對扭矩波動的影響。此外，加工誤差對傳動精度的影響，是可以被定量分析的。答主會將這些內容寫在之后的回答中。

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審核編輯 ：李倩