布辛涅斯克近似概述

導讀：大家好，我是仿真秀專欄作者-極度喜歡上課（又叫小極老師），主要研究方向為CFD，發表COMSOL相關方向中文核心期刊論文1篇，授權發明專利7項。使用COMSOL軟件4年，熟練運用微流體、兩相流、流固耦合以及傳熱等模塊。目前運營COMSOL相關的“b站賬號-極度喜歡上課”，關注粉絲累計6000+。積累了一定的原創COMSOL案例，熟悉COMSOL初學者的需求。前不久，注冊了仿真秀平臺講師，未來將在仿真秀平臺持續創作COMOSOL流體傳熱原創內容，以下是正文。

一、布辛涅斯克近似概述

“布辛涅斯克（ Boussinesq）近似”通常被用于處理熱浮力流的問題中，其中這里的熱浮力流指“流體由于各部分溫度分布不均勻而形成密度差，在重力的作用下產生浮升力，進而引起流體內部流動的現象?！?/span>

如果要向同學更清楚的介紹“布辛涅斯克近似”，本文還得從熱浮力流的問題說起。不知道同學們對于“溫度分布不均勻而形成密度差?！边@個表述是怎么理解的？（大家可以先思考一下，因為下面所涉及的內容會帶有一點點理論性。）

“溫度分布不均勻而形成密度差?！边@句話翻譯成大白話就是“溫度導致了流體的密度發生了變化?！痹趯α黧w問題進行數值求解的時候，考慮流體密度的變化其實是一項很艱巨的任務，而在COMSOL的描述中“密度發生變化”就意味著流體是可壓縮的，如圖1所示，以“層流”接口為例，用戶可以根據需要將流體設置為“不可壓縮”、“弱可壓縮”或者“可壓縮（Ma＜0.3）”三種情況，其中“弱可壓縮”對比“可壓縮（Ma＜0.3）”會將壓力對密度的影響進行簡化。（對于我們絕大多數同學其實只會用到“不可壓縮”和“弱可壓縮”兩種，然后記住密度不發生變化就用“不可壓縮”，密度發生變化就用“弱可壓縮”。）

根據上面的敘述各位同學應該就能知道，如果要考慮熱浮力流那么就是需要用到可壓縮的納維-斯托克斯方程了，方程表達式如下：

其中表示與溫度相關的密度（是一個變量），u是流體的速度，p是流體的壓力，g是重力加速度，“”表征的就是流體所受到的熱浮力。從方程中可以看出，是與方程強烈的耦合在了一起，如果發生了變化勢必會讓方程的求解變得更加困難，接連導致的可能是模型的求解速度變慢以及收斂性能變差。

為了解決因為密度的變化所導致的求解困難，“布辛涅斯克近似”就應運而生了。在密度變化不大又需要考慮熱浮力流的時候，可以利用“布辛涅斯克近似”進行求解，包含了“布辛涅斯克近似”的不可壓縮的納維-斯托克斯方程的表達形式如方程（2）所示：

在不可壓縮的納維-斯托克斯方程中，由于速度散度等于零[1]，對比方程（1），方程（2）中“”這一項會被移除。（注意這里之所以將“”移除，是因為將流體考慮成不可壓縮的時候就可以進行移除，與“布辛涅斯克近似”無關。）“”這一項表示的就是“布辛涅斯克近似”項，其中是熱膨脹系數，是參考溫度。在方程（2）中利用“”項代替方程（1）中的“”來表征流體所受到的熱浮力，并將方程（1）中原本的關于溫度的變量通通改寫成了常數。（是參考溫度下流體的密度。）最終在考慮了熱浮力流的情況下，就可以將原本復雜的方程（1）變成了較為容易求解的方程（2）。

綜上所述，“布辛涅斯克近似”就是利用了較為簡單的不可壓縮的納維-斯托克斯方程來求解熱浮力流問題。當然同學的眼界要放開，“布辛涅斯克近似”常用于求解熱浮力流問題，但是完全可以擴寬到其他方面，例如物質濃度、壓力所引起的密度不均導致的浮力流都可以利用“布辛涅斯克近似”進行求解。

二、COMSOL熱浮力流計算

下面以COMSOL官網的“自然對流傳熱”二維模型為例子[2]，用三種方法處理這個熱浮力流問題，其中方法1為利用COMSOL內置的“布辛涅斯克近似”進行求解，方法2為利用自定義的“布辛涅斯克近似”進行求解，方法3為利用可壓縮的納維-斯托克斯方程直接進行求解。

方法1COMSOL內置的“布辛涅斯克近似”。按照“自然對流傳熱”二維模型COMSOL官網PDF的步驟進行操作[3]，就能采用內置的“布辛涅斯克近似”進行求解，如圖2所示為啟用COMSOL內置的“布辛涅斯克近似”的復選框。如圖3所示，為左右兩壁溫差為10K時采用方法1計算所得的的速度云圖和溫度云圖。從圖中可以看出由熱浮力流產生的流速最大值為0.00316809米每秒左右。

圖2

圖3

方法2自定義的“布辛涅斯克近似”。（感興趣的同學也可以嘗試一下根據“”這條表達式，自定義“布辛涅斯克近似”。）如圖4所示，為左右兩壁溫差為10K時采用方法2計算所得的的速度云圖和溫度云圖，其余邊界條件均與方法1保持一致。（根據COMSOL官網“自然對流傳熱”二維模型的參數設置，自定義“布辛涅斯克近似”的參考溫度為288.15K比較合適。）對比方法1所計算出的結果，采用方法2計算得到的流速最大值為0.00320519米每秒左右，兩種方法的結果非常接近。

圖4

方法3可壓縮的納維-斯托克斯方程。如圖5所示，為左右兩壁溫差為10K時采用方法3計算所得的的速度云圖和溫度云圖，其余邊界條件均與方法1保持一致。理論上來說采用方法3計算的結果應該是最為準確的，其中方法3計算得到的流速最大值為0.00327296米每秒左右，三種方法的結果都非常接近。

圖5

以上就是COMSOL官方用三種方法處理這個熱浮力流問題，為了幫助大家理解和掌握COMSOL中的“布辛涅斯克（ Boussinesq）近似應用，以及解決大家COMSOL學習過程中一些問題，歡迎大家關注我在仿真秀平臺的公開課。