品質因數Q0和帶寬BW的聯系

關于Q0和3dB帶寬的關系，有同學留言求證，今天我們嘮叨嘮叨這個。

單純看符號的字面意思，我們很難將品質因數Q0和帶寬BW聯系起來，尤其是還有中心頻率F0. 今天我們一起來解一下這個問題。Q0到底是怎么和頻率/帶寬扯上關系的呢？

這個還要從Q0的最初定義來解答。

Q0是描述一個諧振回路品質好壞的一個參量，其定義為一個周期內儲能和平均耗能的比值。這個諧振回路既可以是RLC串聯諧振回路，也可以是RLC并聯諧振回路。



我們以一個RLC串聯諧振回路為例。



這個電路在電阻R上的傳輸函數H(w)的幅度值如下：



在諧振頻率點w0處，傳輸函數H(w)的幅度最大等于1，



H(ω)的幅度值隨著電阻R的不同，響應曲線如下圖所示：

上圖那個幅度值最大的點對應的頻率就是RLC串聯諧振電路的諧振頻率。觀察上圖，確實發現3dB帶寬和R有某種特殊的關系，R越大，3dB帶寬越大。





在RLC串聯諧振回路中，單位周期內消耗的功率就是電阻R消耗的功率P(w)。




P(w)是一個關于頻率的函數，當在諧振點處，電阻消耗的功率P（w）最大：



我們做出傳輸函數H(w)的功率傳輸曲線，如下圖?？纯?dB帶寬是怎么來的？



3dB帶寬，也就是當功率下降一半的時候的帶寬。這個3dB來自于10log(1/2)。當功率下降一半，也就是電壓下降1/根號（2）時。這時候有：

求解上式就可以得到w的兩個根，分別是w1和w2

這時候，3dB帶寬就可以得到了：

BW 3dB=w2-w1=R/L

記住了，3dB帶寬就和電阻R和電感L聯系起來了。這個就為品質因數Q0和帶寬的關系埋下了伏筆。

我們接著看RLC串聯諧振回路的Q0的計算。在RLC諧振回路的總儲能等于電感和電容儲能的和：

在給定電流和電壓情況下，總儲能Es可以表示為：

在諧振點w0處，

而單位周期內的平均耗能Ed就可以表示為：

那這個品質因數Q0的公式就可以表示為：

我們只取前面Q0和電感的關系：

把3dB帶寬的公式帶入就可以得到：

當然角頻率w和頻率f的關系帶入就得到了這個關系，這個Q值和頻率的關系，對于實際電路的測試有很大的用處，大大簡化了Q0的測試。

到這里，大家是不是就清楚了。

同理用RLC并聯諧振回路也能得到同樣的結果。

表格給出了LC諧振回路最基本的特性公式。不用記住，有個印象就行。

審核編輯：劉清