計算電感值以維持所需紋波電流的方法

升壓拓撲結構在功率電子領域非常重要，但是電感值的選擇并不總是像通常假設的那樣簡單。在 dc - dc 升壓轉換器中，所選電感值會影響輸入電流紋波、輸出電容大小和瞬態響應。選擇正確的電感值有助于優化轉換器尺寸與成本，并確保在所需的導通模式下工作。本文講述的是在一定范圍的輸入電壓下，計算電感值以維持所需紋波電流和所選導通模式的方法，并介紹了一種用于計算輸入電壓上限和下限模式邊界的數學方法。

導通模式

升壓轉換器的導通模式由相對于直流輸入電流 （IIN） 的電感紋波電流峰峰值 （ΔIL） 的大小決定。這個比率可定義為電感紋波系數 （KRF）。電感越高，紋波電流和 KRF 就越低。

（1） ， 其中 （2）

在連續導通模式 （CCM） 中，正常開關周期內，瞬時電感電流不會達到零 （圖1）。因此，當 ΔIL 小于 IIN 的2倍或 KRF 《2時，CCM 維持不變。MOSFET 或二極管必須以 CCM 導通。這種模式通常適用于中等功率和高功率轉換器，以最大限度地降低元件中電流的峰值和均方根值。當 KRF 》 2 且每個開關周期內都允許電感電流衰減到零時，會出現非連續導通模式 （DCM） （圖2）。直到下一個開關周期開始前，電感電流保持為零，二極管和 MOSFET 都不導通。這一非導通時間即稱為 tidle。DCM 可提供更低的電感值，并避免輸出二極管反向恢復損耗。

當 KRF = 2 時，轉換器被認為處于臨界導通模式 （CrCM） 或邊界導通模式 （BCM）。在這種模式下，電感電流在周期結束時達到零，正如 MOSFET 會在下一周期開始時導通。對于需要一定范圍輸入電壓 （ VIN）的應用，固定頻率轉換器通常在設計上能夠在最大負載的情況下在指定 VIN 范圍內，以所需要的單一導通模式 （CCM 或 DCM） 工作。隨著負載減少，CCM 轉換器最終將進入 DCM 工作。在給定 VIN 下，使導通模式發生變化的負載就是臨界負載（ICRIT）。在給定 VIN 下，引發 CrCM / BCM 的電感值被稱為臨界電感（LCRIT），通常發生于最大負載的情況下。

紋波電流與 VIN

眾所周知，當輸入電壓為輸出電壓 （VOUT） 的一半時，即占空比 （D） 為50％時 （圖3），在連續導通模式下以固定輸出電壓工作的 DC－DC 升壓轉換器的電感紋波電流最大值就會出現。這可以通過數學方式來表示，即設置紋波電流相對于 D 的導數 （切線的斜率） 等于零，并對 D 求解。簡單起見，假定轉換器能效為100％。

根據 （3）、 （4） 和 （5），

并通過 CCM 或 CrCM 的電感伏秒平衡 （6），

則 （7）。

將導數設置為零， （8）

我們就能得出 （9）。

CCM 工作

為了選擇 CCM 升壓轉換器的電感值 （L），需要選擇最高 KRF 值，確保整個輸入電壓范圍內都能夠以 CCM 工作，并避免峰值電流受 MOSFET、二極管和輸出電容影響。然后計算得出最小電感值。KRF 最高值通常選在0.3和0.6之間，但對于 CCM 可以高達2.0。如前所述，當 D = 0.5 時，出現紋波電流 ΔIL 最大值。那么，多少占空比的情況下會出現 KRF 最大值呢？我們可以通過派生方法來求得。

假設 η = 100%， 則 （10），

然后將（2）、（6）、（7） 和 （10） 代入（1） ，得出：

（11）

（12）。

對 D 求解，可得 （13）。

D = 1 這一偽解可被忽略，因為它在穩態下實際上是不可能出現的 （對于升壓轉換器，占空比必須小于1.0）。因此，當 D =? 或 VIN = ?VOUT 時的紋波因數 KRF 最高，如圖4所示。使用同樣的方法還能得出在同一點的最大值 LMIN、LCRIT 和 ICRIT。

對于 CCM 工作，最小電感值 （LMIN）應在最接近 ? VOUT 的實際工作輸入電壓 （VIN（CCM）） 下進行計算。根據應用的具體輸入電壓范圍，VIN（CCM） 可能出現在最小 VIN、最大 VIN、或其間的某個位置。解方程 （5） 求 L，并根據 VIN（CCM） 下的 KRF 重新計算，可得出

（14），其中 VIN（CCM） 為最接近?VOUT 的實際工作 VIN。

對于臨界電感與 VIN 和 IOUT 的變化，KRF = 2，可得出

（15）。

在給定 VIN 和 L 值的條件下，當 KRF = 2時，即出現臨界負載 （ICRIT）：

（16）

DCM 工作

如圖5所示，在一定工作 VIN 和輸出電流 （IOUT） 下的電感值小于 LCRIT 時，DCM 模式工作保持不變。對于 DCM 轉換器，可選擇最短的空閑時間以確保整個輸入電壓范圍內均為 DCM 工作。tidle 最小值通常為開關周期的3％-5％，但可能會更長，代價是器件峰值電流升高。然后采用 tidle 最小值來計算最大電感值 （LMAX）。LMAX 必須低于 VIN 范圍內的最低 LCRIT。對于給定的 VIN，電感值等于 LCRIT （tidle= 0） 時引發 CrCM。

為計算所選最小空閑時間 （tidle（min）） 的 LMAX，首先使用 DCM 伏秒平衡方程求出 tON（max） （所允許的 MOSFET 導通時間最大值） 與 VIN 的函數，其中 tdis 為電感放電時間。

（17），其中

（18）

可得出

（19）。

平均 （直流） 電感電流等于轉換器直流輸入電流，通過重新排列 （17），可得出 tdis 相對于 tON 的函數。簡單起見，我們將再次假設 PIN = POUT。

（20） ，其中 （21）。

將方程 （3）、（5）、（10）、（19） 和 （21） 代入 （20），求得 VIN （DCM） 下的 L

（22）。

LMAX 遵循類似于 LCRIT 的曲線，且同在 VIN = ?VOUT 時達到峰值。為確保最小 tidle，要計算與此工作點相反的實際工作輸入電壓 （VIN （DCM）） 下的最低 LMAX 值。根據應用的實際輸入電壓范圍，VIN（DCM） 將等于最小或最大工作 VIN。若整體輸入電壓范圍高于或低于 ? VOUT（含? VOUT），則 VIN（DCM） 是距 ? VOUT 最遠的輸入電壓。若輸入電壓范圍覆蓋到了 ? VOUT，則在最小和最大 VIN 處計算電感，并選擇較低 （最差情況下） 的電感值?；蛘?，以圖表方式對 VIN 進行評估，以確定最差情況。

輸入電壓模式邊界

當升壓轉換器的輸出電流小于 ICRIT 與 VIN 的最大值時，如果輸入電壓增加到高于上限模式邊界或下降到低于下限模式邊界，即 IOUT 大于 ICRIT 時，則將引發 CCM 工作。而 DCM 工作則發生于兩個 VIN 的模式邊界之間，即 IOUT 小于 ICRIT 時。要想以圖表方式呈現 VIN 下的這些導通模式邊界，在相同圖表中繪制臨界負載 （使用所選電感器） 與輸入電壓和相關輸出電流的變化曲線。然后在 X 軸上找到與兩條曲線相交的兩個 VIN 值 （圖6）。

要想以代數方式呈現 VIN 的模式邊界，首先將臨界負載的表達式設置為等于相關輸出電流，以查找交點：

（23）。

這可以重寫為一個三次方程，KCM 可通過常數計算得出

（24） 其中

（25）。

這里，三次方程通式 x3 + ax2 + bx + c = 0 的三個解可通過三次方程的三角函數解法得出 ［1］ ［2］。在此情況下，x1 項的“b”系數為零。我們將解定義為矢量 VMB。

我們知道

（26）、

（27）、 以及

（28），

（29）。

由于升壓轉換器的物理限制，任何 VMB ≤ 0或VMB 》 VOUT 的解均可忽略。兩個正解均為模式邊界處 VIN 的有效值。

模式邊界 – 設計示例

我們假設一個具有以下規格的 DCM 升壓轉換器：

VOUT = 12 V

IOUT = 1 A

L = 6 μH

FSW = 100 kHz

首先，通過 （25） 和 （28） 計算得出 KCM 和 θ：

.

將 VOUT 和計算所得的 θ 值代入 （29），得出模式邊界處的 VIN 值：

.

忽略偽解 （-3.36 V），我們在 4.95 V 和 10.40 V 得到兩個輸入電壓模式邊界。這些計算值與圖7所示的交點相符。

結論

電感值會影響升壓轉換器的諸多方面，若選擇不當，可能會導致成本過高、尺寸過大、或性能不佳。通過了解電感值、紋波電流、占空比和導通模式之間的關系，設計人員就能夠確保輸入電壓范圍內的所需性能。

責任編輯：haq