如何用觀察法直接寫出補償網絡中的零極點的表達式？

在前面的文章中，我們分別整理了OTA和OPA型的補償網絡，當時有下面的結論。



針對某個固定的補償網絡，我們可以用數學的方法推導補償網絡的零極點。

比如下面OPA的I型補償網絡，求解零極點的過程如下：



上面是純粹數學方式求解的結果，從結果可以看出I型補償只有極點，沒有零點，相對來說還算簡單。

下面求解II型補償器的傳遞函數，寫成標準零極點的形式：





從上面的求解過程來看，是相當的復雜，而且這還是II型的補償，換成III型的補償，這個求解的過程會更復雜！

不信你看下面這個III型的補償器，求解出的傳遞函數



這是人家整理好的表達式，可以直接看出直流增益，零極點的位置。

如果要是自己求解的，按照上面II型的方法，至少需要10分鐘才能求解出來一個，而且還不一定對。

最近在開關電源大牛巴索的書里面找到一種簡潔的方法求解零極點的方法，因此結合前面我自己都認為很復雜的過程，來看下這種簡單的方法。

書中以一個簡單的串并聯電路為例：



對于這個網絡，開始沒人知道這個傳遞函數有幾個零極點，也不知道是否存在零點和極點，但是由于只有電容一個存儲元件，最后傳遞函數的表達式可以寫成如下的結構：



下面就是根據電路的性質，直接寫成G，Wz，Wp的值，那么就可以得到傳遞函數的零極點。

首先是求解直流增益，即s=0，此時電容相當斷開，所以G可以求出：



其次是求解零點，零點的定義是讓激勵信號永遠不能到達輸出的頻率點，基于這個邏輯，我們需要找到電路中能阻止激勵信號往輸出傳遞的器件。

作者在書中提到了兩種可能性：信號串聯的時候，器件在這個頻率點的阻抗的無窮大，或者這個器件在這個頻率點將信號連接到地上形成短路。

基于以上兩點作為前提，我們再看上述的網絡：



電容C是輸出端的以并聯的形式的加入，這是要滿足兩種可能性中的一種，只有一種情況，那就是R2+C1的阻抗為0，此時傳遞函數的分子為0。



可以求出零點的位置



最后是求解傳遞函數的極點，求解極點的方法作者在書中介紹的是電路拓撲的時間常數，在求解的時候，電壓源短路，電流源是開路，有點類似求解等效電阻的意思。



時間常數：



對于一階系統，極點等效時間的常數，因此可以直接推導出極點：



所以系統的傳遞函數為：

?

如果不用作者的方法，我自己也推導了一下，過程如下：



推導的過程明顯比作者說的觀察法難很多?。?！ 有了上面的內容，我們將上述的結論用在有補償網絡的傳遞函數里面。



下面用前面的的理論來推導I型補償網絡的零極點:



零點，輸出為0，分,子為0，則Z2=0，則1/Sc=0，則頻率為無窮大，實際中確定RC參數，頻率不可能無窮大，因此，I型補償 網絡沒有零點。

極點，時間常數，Rf1C，所以存在極點：



推導II型補償網絡的零極點



零點，輸出為0，分子為0，則Z2=0，要使Z2的阻抗為0，C1的阻抗不能為0 ，只有RF3和C2的阻抗為0，因此，此時存在一個零點：



極點：極點是分母為0，在一階系統中是求解電路網絡結構的時間常數，而在在二階系統中此種方法無法用。

此時，可以借鑒零點的求法，極點的定義是讓傳遞函數的分母為0，則整個系統的值為無窮大，那么Z2的阻抗為無窮大。

（1）當頻率為0時，電容C1的阻抗為無窮大，此時存在零極點 （

2）當頻率為0時，電容RF3和C2的阻抗為無窮大，此時存在零極點 上述兩個零極點的頻率都是在頻率為0，因此是同一個零極點



（3）當頻率為f時，電容C1和RF3以及C2的串并聯阻抗無窮大，除了頻率為0的時刻，還存在另外一個頻率f，即?Rf3+C2+C1的阻抗一起為無窮大




推導III型補償網絡的零極點



III型補償相比II型補償增加了一個電阻電容，推導方式和前面基本一致，但是增加的RF4，C3和電阻RF1之間可以有兩種類型的組合。

當Rf4+C3阻抗為0時，系統增加一個極點，這樣的頻率是存在的，因此此時的極點為

?

同理，Rf4+C3+RF1的阻抗為無窮大時，系統增加了一個零點，此時的零點



III型的另外幾個零極點和II型的一樣，這里不贅述。

上面的方面可以很快確定零極點，但是對于靜態增益無法求出。

對于復雜的系統，求解傳遞函數比較困難時，通過這種方法可以很快看出零極點。

但是沒辦法將整個傳遞函數形式表達清楚，所以方法有利有弊。?








審核編輯：劉清