奈奎斯特穩定判據的推導和理解

　　什么是奈奎斯特穩定判據

　　奈奎斯特穩定判據是根據閉環控制系統的開環頻率響應判斷閉環系統穩定性的準則，由美國學者H.奈奎斯特1932年所提出?？刂葡到y在斷開反饋作用后所定出的頻率響應稱為開環頻率響應。奈奎斯特穩定判據本質上是一種圖解分析方法，且開環頻率響應容易通過計算或實驗途徑定出，所以它在應用上非常方便和直觀。奈奎斯特穩定判據只能用于線性定常系統。

　　在經典控制理論中，奈奎斯特穩定判據主要用于分析單變量系統的穩定性。在此基礎上形成的頻率響應法是經典控制理論的主要分析和綜合方法之一。70年代以來，奈奎斯特穩定判據已被推廣應用于多變量系統（見多變量頻域方法）。

　　奈奎斯特穩定判據的推導和理解

　　先上結論，奈奎斯特穩定判據：

　　若奈奎斯特曲線不穿過（-1 ， j0）點，Z = P - 2N = 0 時系統穩定若奈奎斯特曲線穿過（-1 ， j0）點，則系統臨界穩定

　　其中，Z為包圍函數的零點數

　　P為開環傳遞函數的極點數

　　N為奈奎斯特曲線包圍（-1 ， j0）的圈數

　　看上去挺抽象的哈，當初我就死記著定理去考試了。要了解奈奎斯特穩定判據，得談到復變函數中的Cauchy定理，也就是輻角原理。輻角原理實際上就是畫圈圈，這里不詳述，請自己參照《復變函數》。

　　根據輻角原理，當s在不穿過零極點的閉合軌跡上順時針運動一周時，F（s）的值在復平面上順時針運動Z-P周（和書上表述可能有異，但這樣很好理解）。

　　其實就是s變量沿著閉合軌跡的變化對應于F（s）值在復平面上有著相應的變化。

　　為什么強調順時針呢？且看我慢慢道來，蛤蛤！

　　閉環傳函極點實際上就等價于F（s）=1+G（s）H（s）的零點，那么穩定性判定就歸結為判定F（s）的零點在復平面的右半平面的分布情況。

　　F（s）在復平面上的運動軌跡可由G（s）H（s）的運動軌跡向右平移1個單位長度得到；

　　研究F（s）的零點分布，先得找個合適的s變量運動軌跡，書上采用的是兩部分：

　　右半平面半徑無窮大的半圓

　　虛軸本身

　　例外：如果原點處存在開環極點，則以半徑無窮小的圓弧避開，形成類似于扇形的閉合曲線。

　　如果我們選取s變量的運動軌跡關于實軸對稱，由復數的運算性質可知，G（s）H（s）的運動軌跡關于實軸對稱，也即F（s）的運動軌跡關于實軸對稱。

　　既然這樣，我們就只需要研究：虛軸上半部對應的s變量的運動軌跡與G（s）H（s）軌跡的變化關系就好，這也是教科書上為何有R = 2 * N 的原因，下半部分的數量直接乘以2即可。

　　所以我們分析的就只是上圖紅色部分的s變量軌跡對應于G（s）H（s）的運動軌跡所繞（-1 ， 0j）的圈數咯。那么，根據奈奎斯特曲線和可能存在的補線就能得出s變量的上半平面部分的運動軌跡對應的G（s）H（s）的運動“軌跡”，其實還存在于實軸對稱的另一部分軌跡啦，對應于s運動軌跡的下半平面部分，也就是上圖的藍色部分。對應這個詞，其實就是映射啦。

　　虛軸部分對應于jw，同時，使s變量運動方向為順時針，那么對應于w是從0到無窮變化的，所以虛軸紅色部分也就對應于G（s）H（s）的奈奎斯特曲線；

　　而對應于紅色無窮大半徑圓環部分在開環傳函極點數大于等于零點數時，是收斂于0或者常數的

　　倘若開環傳函存在為零的績點，那么在原點處就會存在半徑為無窮小的圓弧，如上圖所示，當然畫得不小，為了好看嘛。

　　此圓弧對應于G（s）H（s）的運動軌跡是無窮大半徑的補線（當然了，未必是圓，只是為了方便想象）

　　那么可以得出Z - P 的值，這里還要注意奈奎斯特曲線的方向哦，順時針或者逆時針，是影響到正負號的哦，我比較懶，就不具體指出了，留給讀者自己想咯。

　　說到這里已經差不多啦，由奈奎斯特和可能存在的補線得到Z-P的值，就可以由P（開環傳函的極點數）的值得出（F（s）=1 + G（s）H（s）的零點數，也即閉環傳函的極點數）Z啦