卡諾圖化簡法詳細介紹

一 卡諾圖的構成
卡諾圖是一種平面方格圖，每個小方格代表一個最小項，故又稱為最小項方格圖。
1．結構特點??
??? 卡諾圖中最小項的排列方案不是唯一的，圖2．5(a)、(b)、(c)、(d)分別為2變量、3變量、4變量、5變量卡諾圖的一種排列方案。圖中，變量的坐標值0表示相應變量的反變量，1表示相應變量的原變量。各小方格依變量順序取坐標值，所得二進制數對應的十進制數即相應最小項的下標i。
??? 在五變量卡諾圖中，為了方便省略了符號“m”，直接標出m的下標i 。

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圖2. 5 2～5變量卡諾圖
??? 從圖2.5所示的各卡諾圖可以看出，卡諾圖上變量的排列規律使最小項的相鄰關系能在圖形上清晰地反映出來。具體地說，在n個變量的卡諾圖中，能從圖形上直觀、方便地找到每個最小項的n個相鄰最小項。以四變量卡諾圖為例，圖中每個最小項應有4個相鄰最小項，如m5的4個相鄰最小項分別是m1，m4，m7，m13，這4個最小項對應的小方格與m5對應的小方格分別相連，也就是說在幾何位置上是相鄰的，這種相鄰稱為幾何相鄰。而m2則不完全相同，它的4個相鄰最小項除了與之幾何相鄰的m3和m6之外，另外兩個是處在“相對”位置的m0(同一列的兩端)和m10(同一行的兩端)。這種相鄰似乎不太直觀，但只要把這個圖的上、下邊緣連接，卷成圓筒狀，便可看出m0和m2在幾何位置上是相鄰的。同樣，把圖的左、右邊緣連接，便可使m2和m10相鄰。通常把這種相鄰稱為相對相鄰。除此之外，還有“相重”位置的最小項相鄰，如五變量卡諾圖中的m3，除了幾何相鄰的m1，m2，m7和相對相鄰的m11外，還與m19相鄰。對于這種情形，可以把卡諾圖左邊的矩形重疊到右邊矩形之上來看，凡上下重疊的最小項相鄰，這種相鄰稱為重疊相鄰。

??? 歸納起來，卡諾圖在構造上具有以下兩個特點：

??? ☆ n個變量的卡諾圖由2n個小方格組成，每個小方格代表一個最小項；

??? ☆ 卡諾圖上處在相鄰、相對、相重位置的小方格所代表的最小項為相鄰最小項。


??? 二 卡諾圖的性質

??? 卡諾圖的構造特點使卡諾圖具有一個重要性質：可以從圖形上直觀地找出相鄰最小項合并。合并的理論依據是并項定理AB+AB=A。例如，


??? 根據定理AB+AB=A和相鄰最小項的定義，兩個相鄰最小項可以合并為一個與項并消去一個變量。例如，4變量最小項ABCD和ABCD相鄰，可以合并為ABD；ABCD和ABCD相鄰，可以合并為ABD；而與項ABD和ABD又為相鄰與項，故按同樣道理可進一步將兩個相鄰與項合并為BD。

??? 用卡諾圖化簡邏輯函數的基本原理就是把上述邏輯依據和圖形特征結合起來，通過把卡諾圖上表征相鄰最小項的相鄰小方格“圈”在一起進行合并，達到用一個簡單“與”項代替若干最小項的目的。

??? 通常把用來包圍那些能由一個簡單“與”項代替的若干最小項的“圈”稱為卡諾圈。


?? 三 邏輯函數在卡諾圖上的表示

??? 1．給定邏輯函數為標準“與-或”表達式
??? 當邏輯函數為標準“與-或”表達式時，只需在卡諾圖上找出和表達式中最小項對應的小方格填上1，其余小方格填上0，即可得到該函數的卡諾圖。
??? 例如，3變量函數F(A,B,C)=∑m(1,2,3,7)的卡諾圖如圖2．6所示。

圖2．6 函數F(A,B,C)=∑m(1,2,3,7)的卡諾圖
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??? 2．邏輯函數為一般“與-或”表達式

??? 當邏輯函數為一般“與-或”表達式時，可根據“與”的公共性和“或”的疊加性作出相應卡諾圖。
??? 例如，4變量函數F(A,B,C,D)=AB+CD+A·BC的卡諾圖如圖2．7所示。


圖2．7 函數F(A,B,C,D)=AB+CD+A·BC的卡諾圖

??? 填寫該函數卡諾圖時，只需在4變量卡諾圖上依次找出和“與項”AB、CD、A·BC對應的小方格填上1，便可得到該函數的卡諾圖。
??? 當邏輯函數表達式為其他形式時，可將其變換成上述形式后再作卡諾圖。

??? 為了敘述的方便，通常將卡諾圖上填1的小方格稱為1方格，填0的小方格稱為0方格。0方格有時用空格表示。


??? 四 卡諾圖上最小項的合并規律

??? 卡諾圖的一個重要特征是，它從圖形上直觀、清晰地反映了最小項的相鄰關系。當一個函數用卡諾圖表示后，究竟哪些最小項可以合并呢？下面以2、3、4變量卡諾圖為例予以說明。

??? 1．兩個小方格相鄰, 或處于某行(列)兩端時，所代表的最小項可以合并，合并后可消去一個變量。

??? 例如，圖2.8給出了2、3、4變量卡諾圖上兩個相鄰最小項合并的典型情況的。


圖2．8 兩個相鄰最小項合并的情況
??? 2．四個小方格組成一個大方格、或組成一行（列）、或處于相鄰兩行（列）的兩端、或處于四角時，所的表的最小項可以合并，合并后可消去兩個變量。

??? 例如，圖2.9給出了3、4變量卡諾圖上四個相鄰最小項合并的典型情況的。

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圖2．9 四個相鄰最小項合并的情況
??? 3．八個小方格組成一個大方格、或組成相鄰的兩行（列）、或處于兩個邊行（列）時，所代表的最小項可以合并，合并后可消去三個變量。

??? 例如，圖2．10給出了3、4變量卡諾圖上八個相鄰最小項合并的典型情況的。


圖2．10 八個相鄰最小項合并的情況
??? 至此，以3、4變量卡諾圖為例，討論了2，4，8個最小項的合并方法。依此類推，不難得出n個變量卡諾圖中最小項的合并規律。

??? 歸納起來，n個變量卡諾圖中最小項的合并規律如下：

??? （1）卡諾圈中小方格的個數必須為2m個，m為小于或等于n的整數。
??? （2）卡諾圈中的2m個小方格有一定的排列規律，具體地說，它們含有m個不同變量，(n-m)個相同變量。
??? （3）卡諾圈中的2m個小方格對應的最小項可用(n-m)個變量的“與”項表示，該“與”項由這些最小項中的相同變量構成。
??? （4）當m=n時，卡諾圈包圍了整個卡諾圖，可用1表示，即n個變量的全部最小項之和為1。


??? 五、卡諾圖化簡邏輯函數

??? 1．幾個定義

??? 蘊涵項：在函數的“與-或”表達式中,每個“與”項被稱為該函數的蘊涵項(Implicant)。
??? 顯然，在函數卡諾圖中，任何一個1方格所對應的最小項或者卡諾圈中的2m個1方格所對應的“與”項都是函數的蘊涵項。

??? 質蘊涵項：若函數的一個蘊涵項不是該函數中其他蘊涵項的子集，則此蘊涵項稱為質蘊涵項(Prime Implicant)，簡稱為質項。
??? 顯然，在函數卡諾圖中，按照最小項合并規律，如果某個卡諾圈不可能被其他更大的卡諾圈包含，那么，該卡諾圈所對應的“與”項為質蘊涵項。

??? 必要質蘊涵項：若函數的一個質蘊涵項包含有不被函數的其他任何質蘊涵項所包含的最小項，則此質蘊涵項被稱為必要質蘊涵項(Essential Prime Implicant)，簡稱為必要質項。
??? 在函數卡諾圖中，若某個卡諾圈包含了不可能被任何其他卡諾圈包含的1方格，那么，該卡諾圈所對應的“與”項為必要質蘊涵項。

??? 2．求函數最簡“與-或”表達式

??? （1）一般步驟：

??? 第一步：作出函數的卡諾圖。

?? 第二步：在卡諾圖上圈出函數的全部質蘊涵項。按照卡諾圖上最小項的合并規律，對函數F卡諾圖中的1方格畫卡諾圈。為了圈出全部質蘊涵項，畫卡諾圈時在滿足合并規律的前題下應盡可能大，若卡諾圈不可能被更大的卡諾圈包圍，則對應的“與”項為質蘊涵項。

??? 第三步：從全部質蘊涵項中找出所有必要質蘊涵項。在卡諾圖上只被一個卡諾圈包圍的最小項被稱為必要最小項，包含必要最小項的質蘊涵項即必要質蘊涵項。為了保證所得結果無一遺漏地覆蓋函數的所有最小項，函數表達式中必須包含所有必要質蘊涵項。

??? 第四步：求出函數的最簡質蘊涵項集。若函數的所有必要質蘊涵項尚不能覆蓋卡諾圖上的所有1方格，則從剩余質蘊涵項中找出最簡的所需質蘊涵項，使它和必要質蘊涵項一起構成函數的最小覆蓋。

??? （3）舉例

??? 例1 用卡諾圖化簡邏輯函數F(A,B,C,D)=∑m(0,3,5,6,7,10,11,13,15) 。

??? 解 根據卡諾圖化簡的步驟，該題化簡過程如下：

圖2.11
??? 該題中，5個必要質蘊涵項已將函數的全部最小項覆蓋，故將各卡諾圈對應的與項相或即可得到函數F的最簡“與-或”表達式為
??????? F(A,B,C,D)=A·B·C·D+ABC+ABC+BD+CD

??? 例2 用卡諾圖化簡邏輯函數F(A,B,C,D)=∑m(2,3,6,7,8,10,12) 。

??? 解 根據卡諾圖化簡的步驟，該題化簡過程如下：
圖2．12
??? 由圖可知，該函數包含兩個必要質蘊涵項，即AC和AC·D。在選取必要質蘊涵項之后，尚有最小項m10未被覆蓋。為了覆蓋最小項m10，可選質蘊涵項BCD或者AB·D，由于這兩個質蘊涵項均由3個變量組成，故可任選其中之一作為所需質蘊涵項，即F的最簡質蘊涵項集可為

{AC，AC·D，BCD} 或者 {AC，AC·D，AB·D}
??? 因而，可求得函數F的最簡“與-或”表達式為
F(A,B,C,D)=AC+AC·D+BCD 或者 F(A,B,C,D)=AC+AC·D+AB·D
??? 這里，函數F的最簡“與-或”式有兩個，其復雜程度相同。由此可見，一個函數的最簡“與-或”表達式不一定是唯一的！

??? 歸納起來，卡諾圖化簡的原則是：

???? ☆ 在覆蓋函數中的所有最小項的前提下，卡諾圈的個數達到最少。
???? ☆ 在滿足合并規律的前題下卡諾圈應盡可能大。
???? ☆ 根據合并的需要，每個最小項可以被多個卡諾圈包圍。
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??? 3.求函數的最簡“或-與”表達式

??? 當需要求一個函數的最簡“或-與”表達式時，可采用“兩次取反法”。

?? 具體如下：
??? ☆ 先求出函數F的反函數F的最簡“與-或”表達（合并卡諾圖上的0方格）；
??? ☆ 然后對F的最簡“與-或”表達式取反，從而得到函數F的最簡“或-與”表達式。

??? 例如， 用卡諾圖求邏輯函數F(A,B,C,D)=∑m(3,4,6,7,11,12,13,14,15)的最簡“或-與”表達式。

??? 解 首先畫出函數F的卡諾圖如圖2．13所示。

圖2．13
??? 圖中，F的0方格即反函數F的1方格，它們代表F的各個最小項，將全部0方格合并就可得到反函數F的最簡“與-或”表達式
F(A,B,C,D)=AB+CD+BD
??? 再對上述函數式兩邊取反，即可求得函數的最簡“或-與”表達式

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??? 卡諾圖化簡邏輯函數具有方便、直觀、容易掌握等優點。但依然帶有試湊性。尤其當變量個數大于6時，畫圖以及對圖形的識別都變得相當復雜。